Artículo sobre nada

Cuando era niño, me fascinaba la historia, probablemente conocida por muchos lectores, sobre "sopa en un clavo". Mi abuela (siglo XXI de nacimiento) me dijo esto en la versión "Vino el cosaco y pidió agua, porque tiene un clavo y cocinará sopa en él". La anfitriona curiosa le dio una olla con agua… y sabemos lo que pasó después: “la sopa debe estar salada, daitye, abuelita, sal”, luego lavó la carne “para mejorar el sabor” y así sucesivamente. Al final, tiró el clavo "hervido".

Así que se suponía que este artículo trataba sobre el vacío del espacio, y se trata del aterrizaje de un aparato europeo en el cometa 67P/Churyumov-Gerasimenko el 12 de noviembre de 2014. Pero mientras escribía, sucumbí a un viejo hábito: Todavía soy matemático. como es con Me gustaс Cero ¿matemáticas?

¿Cómo existe la Nada?

No se puede decir que la Nada existe. Existe al menos como concepto filosófico, matemático, religioso y perfectamente coloquial. Cero es un número ordinario, cero grados en un termómetro también es una temperatura, y un saldo cero en un banco es un hecho desagradable pero común. Tenga en cuenta que no hay un año cero en la cronología, y esto se debe a que el cero se introdujo en las matemáticas solo a fines de la Edad Media, más tarde que la cronología propuesta por el monje Dionisio (siglo XVIII).

Por extraño que parezca, realmente podríamos prescindir de este cero y, por lo tanto, sin números negativos. En uno de los libros de texto de lógica encontré un ejercicio: dibuja o di cómo te imaginas la ausencia de peces. Increíble, ¿no? ¿Cualquiera puede dibujar un pez, pero no uno?

ahora brevemente curso basico de matematicas. Otorgar el privilegio de existencia al conjunto vacío marcado con un círculo tachado ∅ es un procedimiento necesario análogo a sumar cero al conjunto de números. El conjunto vacío es el único conjunto que no contiene ningún elemento. Tales colecciones:

Pero no hay dos conjuntos vacíos diferentes. El conjunto vacío está incluido en cualquier otro conjunto:

De hecho, las reglas de la lógica matemática dicen que el conjunto A está contenido en el conjunto B si y solo si la oración:

implica

En el caso del conjunto vacío ∅, la proposición siempre es falsa y, por lo tanto, de acuerdo con las leyes de la lógica, la implicación es generalmente verdadera. Todo surge de una mentira (“aquí me crecerá un cactus si pasas a la siguiente clase...”). Entonces, como el conjunto vacío está contenido en cada uno de los otros, entonces si fueran dos diferentes, cada uno de ellos estaría contenido en el otro. Sin embargo, si dos conjuntos están contenidos uno dentro del otro, son iguales. Por eso: ¡solo hay un juego vacío!

El postulado de la existencia de un conjunto vacío no contradice ninguna ley de las matemáticas, así que ¿por qué no darle vida? El principio filosófico llamadoLa navaja de Occam» Un orden para excluir conceptos innecesarios, pero justo el concepto de conjunto vacio es muy util en matematicas. Tenga en cuenta que el conjunto vacío tiene una dimensión de -1 (menos uno): los elementos de dimensión cero son puntos y sus sistemas dispersos, los elementos unidimensionales son líneas, y hablamos de elementos matemáticos muy complejos con dimensión fractal en el capítulo sobre fractales. .

Es interesante que todo el edificio de las matemáticas: números, números, funciones, operadores, integrales, diferenciales, ecuaciones ... se puede derivar de un concepto: ¡un conjunto vacío! Basta con suponer que hay un conjunto vacío, los elementos recién creados se pueden combinar en conjuntos para poder construir todas las matemáticas. Así construyó el lógico alemán Gottlob Frege los números naturales. El cero es una clase de conjuntos cuyos elementos están en correspondencia mutua con los elementos del conjunto vacío. Uno es una clase de conjuntos cuyos elementos están en correspondencia mutua con los elementos de un conjunto cuyo único elemento es el conjunto vacío. Dos es una clase de conjuntos cuyos elementos son uno a uno con los elementos del conjunto que consiste en el conjunto vacío y el conjunto cuyo único elemento es el conjunto vacío... y así sucesivamente. A primera vista, esto parece ser algo muy complicado, pero en realidad no lo es.

Azul se extendió sobre mí

olía a brezo y olía a menta...

Wojciech Mlynarski, Chica de la cosecha

es dificil de imaginar

Nada es difícil de imaginar. En la historia de Stanisław Lem "Cómo se salvó el mundo", el diseñador Trurl construyó una máquina que haría todo a partir de una letra. Cuando Klapaucius ordenó que se construyera Nic, la máquina comenzó a eliminar varios objetos del mundo, con el objetivo final de eliminar todo. Para cuando el asustado Klapaucius detuvo el coche, las galeras, los tejos, los ahorcamientos, los hacks, las rimas, los batidores, los pufs, los molinillos, los pinchos, los philidrons y las heladas habían desaparecido del mundo para siempre. Y de hecho, desaparecieron para siempre...

Józef Tischner escribió muy bien sobre la nada en su Historia de la filosofía de la montaña. Durante mis últimas vacaciones, decidí experimentar esta nada, es decir, fui a las turberas entre Nowy Targ y Jabłonka en Podhale. Esta área incluso se llama Pustachia. Vas, vas, pero el camino no disminuye, por supuesto, en nuestra modesta escala polaca. Un día tomé un autobús en la provincia canadiense de Saskatchewan. Afuera había un campo de maíz. Tomé una siesta de media hora. Cuando desperté, íbamos conduciendo por el mismo maizal... Pero espera, ¿está vacío? En cierto sentido, la ausencia de cambio es solo vacío.

Estamos acostumbrados a la presencia constante de varios objetos a nuestro alrededor, y de Algo no puedes huir ni siquiera con los ojos cerrados. “Pienso, luego existo”, dijo Descartes. Si ya he pensado algo, entonces existo, lo que significa que hay al menos algo en el mundo (es decir, yo). ¿Existe lo que pensé? Esto se puede discutir, pero en la mecánica cuántica moderna se conoce el principio de Heisenberg: cada observación perturba el estado del objeto observado. hasta que lo vemos Nic no existe, y cuando empezamos a mirar, el objeto deja de ser Me gusta y se convierte Algo. se esta volviendo absurdo principio antrópico: No tiene sentido preguntar cómo sería el mundo si no existiéramos. El mundo es lo que nos parece. ¿Quizás otros seres verán la Tierra como angular?

Un positrón (un electrón tan positivo) es un agujero en el espacio, "no hay ningún electrón". En el proceso de aniquilación, el electrón salta a este agujero y "no pasa nada": no hay agujero, no hay electrón. Me saltaré muchos chistes sobre agujeros en el queso suizo ("cuanto más tengo, menos hay..."). El famoso compositor John Cage ya había utilizado sus ideas hasta tal punto que compuso (?) una pieza musical (?) en la que la orquesta permanece inmóvil durante 4 minutos y 33 segundos y, por supuesto, no toca nada. “Cuatro minutos y treinta y tres segundos son doscientos setenta y tres, 273, y menos 273 grados es el cero absoluto, en el que todo movimiento se detiene”, explicó el compositor (?).

Filtro a cero, nada, nick, nick, nada, ¡cero!

Jerzy en la película Over the Years de Andrzej Wajda,

los días pasan"

¿Qué hay de todos?

Muchas personas (desde simples agricultores hasta destacados filósofos) se preguntaron sobre el fenómeno de la existencia. En matemáticas, la situación es simple: hay algo que es consistente.

Ella desapareció en los campos marginales

En acianos, malas hierbas y bocas de león...

Bueno, cosas como esta pasan

Sobre todo en la siega, y durante la siega

especialmente…

Wojciech Mlynarski, Chica de la cosecha

Todo está en el otro extremo de la Nada. En matemáticas, sabemos que todo no existe. Solo una noción demasiado inexacta de que su existencia estaría libre de controversia. Esto se puede entender con el ejemplo de la vieja paradoja: "Si Dios es omnipotente, ¿entonces crear una piedra para recoger?" La demostración matemática de que no puede haber conjuntos de todos los conjuntos se basa en el teorema cantante-Bershtein, que dice que "un número infinito" (matemático: número cardinal) el conjunto de todos los miembros de un conjunto dado es mayor que el número de elementos de este conjunto.

Si un conjunto tiene elementos, entonces tiene 2ⁿ subconjuntos; por ejemplo, cuando = 3 y el conjunto consiste en {1, 2, 3} entonces existen los siguientes subconjuntos:

• tres conjuntos de dos elementos: a cada uno le falta uno de los números 1, 2, 3,
• un conjunto vacío,
• tres conjuntos de un elemento,
• todo el conjunto {1,2,3}

– sólo ocho, 2³Y lectores que se han graduado recientemente de la escuela, me gustaría recordar la fórmula correspondiente:

Cada uno de los símbolos newtonianos en esta fórmula determina el número de conjuntos de elementos k en el conjunto de elementos.

En matemáticas, los coeficientes binomiales aparecen en muchos otros lugares, como en fórmulas interesantes para la multiplicación reducida:

y por su forma exacta, su interdependencia es mucho más interesante.

Es difícil entender qué es, en lo que respecta a la lógica y las matemáticas, y qué no es Todo. Argumentos a favor de la inexistencia Igual que el de Winnie the Pooh, quien cortésmente preguntó a su invitado, Tigre, ¿a los tigres les gusta la miel, las bellotas y los cardos? “A los tigres les gusta todo”, respondió aquel de lo que Kubus concluyó que si les gusta todo, entonces también les gusta dormir en el suelo, por lo tanto, él, Vinnie, puede volver a la cama.

Otro argumento La paradoja de Russell. Hay un barbero en el pueblo que afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos. ¿Se afeita solo? Ambas respuestas contradicen la condición propuesta de que aquellos, y solo aquellos, que no lo hagan por sí mismos sean sacrificados.

Buscando una colección de todas las colecciones.

En conclusión, daré una prueba inteligente, pero muy matemática, de que no hay un conjunto de todos los conjuntos (que no debe confundirse con él).

Primero, mostraremos que para cualquier conjunto no vacío X, es imposible encontrar una función mutuamente única que mapee este conjunto al conjunto de sus subconjuntos P(X). Así que supongamos que esta función existe. Denotemoslo con la tradicional f. ¿Cuánto es f de x? Esta es una colección. ¿Xf pertenece a x? Esto es desconocido. O tienes que hacerlo o no. Pero para algún x todavía debe ser tal que no pertenezca a f de x. Bien, entonces considere el conjunto de todos los x para los cuales x no pertenece a f(x). Denotarlo (este conjunto) por A. Corresponde a algún elemento a del conjunto X. ¿A pertenece a A? Supongamos que debería hacerlo. Pero A es un conjunto que contiene solo aquellos elementos de x que no pertenecen a f(x)... Bueno, ¿quizás no pertenece a A? Pero el conjunto A contiene todos los elementos de esta propiedad, y por tanto también A. Fin de la demostración.

Por lo tanto, si hubiera un conjunto de todos los conjuntos, él mismo sería un subconjunto de sí mismo, lo cual es imposible según el razonamiento anterior.

Uf, no creo que muchos lectores hayan visto esta prueba. Más bien, lo mencioné para mostrar lo que los matemáticos tenían que hacer a fines del siglo XIX, cuando comenzaron a estudiar los fundamentos de su propia ciencia. Resultó que los problemas yacen donde nadie los esperaba. Además, para el conjunto de las matemáticas, estos razonamientos sobre las bases no importan: pase lo que pase en los sótanos - todo el edificio de las matemáticas se alza sobre una roca sólida.

Mientras tanto, en la cima...

Notamos una moralidad más de las historias de Stanislav Lem. En uno de sus viajes, Iyon Tichi llegó a un planeta cuyos habitantes, luego de una larga evolución, alcanzaron finalmente la etapa más alta de desarrollo. Todos son fuertes, pueden con todo, lo tienen todo al alcance de la mano… y no hacen nada. Se acuestan en la arena y la vierten entre sus dedos. “Si todo es posible, no vale la pena”, le explican al sorprendido Ijon. Que esto no le suceda a nuestra civilización europea...