Premio Abel

Pocos lectores dirán algo sobre el nombre de Abel. No, no se trata del desafortunado joven asesinado por su propio hermano Caín. Me refiero al matemático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829) y al premio que lleva su nombre y que acaba de otorgar (16 de marzo de 2016) la Academia Noruega de Ciencias y cartas a Sir Andrew J. Wiles. Esto compensa a los matemáticos por haber sido dejados fuera por Alfred Nobel en el ranking de categorías del premio científico más importante del mundo.

Aunque los matemáticos aprecian el llamado. Medalla de campos (oficialmente considerado el laurel más alto en su campo), se asocia con solo 15 mil. (¡no millones, miles!) de dólares canadienses hasta el ganador Premios Abel pone un cheque de 6 millones de coronas noruegas (unos 750 8 euros) en el bolsillo. Los premios Nobel reciben 865 millones de SEK, o alrededor de XNUMX mil. euro - menos que los tenistas por ganar un gran torneo. Hay varias razones probables por las que Alfred Nobel no incluyó a los matemáticos entre los posibles ganadores del premio. El testamento de Nobel trataba de "invenciones y descubrimientos" que traen el mayor beneficio a la humanidad, pero probablemente no sean teóricos, sino prácticos. Las matemáticas no se consideraban una ciencia que pudiera traer beneficios prácticos a la humanidad.

¿Por qué Abel?

Quien fue Niels Henrik Abel y ¿cómo se hizo famoso? Debió ser brillante, porque aunque murió de tuberculosis a los 27 años, tenía un lugar permanente en las matemáticas. Bueno, ya en la secundaria nos enseñan a resolver ecuaciones; primer grado primero, luego cuadrado ya veces cúbico. Hace ya cuatrocientos años, los científicos italianos pudieron hacer frente a ecuación cuárticahasta el que parece inocente:

y de cual uno de los elementos

Sí, los científicos podrían haberlo hecho ya en el siglo XIX. No es difícil adivinar que se tomaron en cuenta ecuaciones de mayor grado. Y nada. Nadie lo ha logrado en doscientos años. Niels Abel también fracasó. Y luego se dio cuenta de que... tal vez no sea posible en absoluto. se puede probar la imposibilidad de resolver tal ecuación - o más bien, expresando la solución en fórmulas aritméticas simples.

Fue el primero de 2. años (!) de este tipo de razonamiento: algo no se puede probar, algo no se puede hacer. El monopolio de tales pruebas pertenece a las matemáticas: las ciencias prácticas están rompiendo barreras cada vez más. En 1888, el presidente de la Comisión de Patentes de EE. UU. declaró que "pocos inventos son de esperar en el futuro, porque ya se ha inventado casi todo". Hoy en día nos cuesta hasta reírnos de esto... Pero en matemáticas, una vez probado, se pierde. No se puede hacer.

La historia divide el descubrimiento que he descrito entre niels abel i Evarist Galois, ambos fallecieron antes de los XNUMX años, subestimados por sus contemporáneos. Niels Abel es uno de los pocos matemáticos noruegos con gran fama (en realidad dos, el otro es sofus li, 1842-1899 - los apellidos no suenan escandinavos, pero ambos eran noruegos nativos).

Los noruegos están en desacuerdo con los suecos; desafortunadamente, esto es común entre los pueblos vecinos. Uno de los motivos de la creación del Premio Abel por parte de los noruegos fue el deseo de mostrar a sus compatriotas Alfred Nobel: por favor, no somos peores.

Persiguiendo una entrada de margen inexistente

Aquí está Niels Henrik Abel para ti. Ahora sobre el ganador del premio, un inglés de 63 años (que vive en los EE. UU.). Su hazaña en 1993 solo podría compararse con escalar el Everest, escalar la luna o algo así. quien es señor Andrés Wiles? Si observa la lista de sus publicaciones y los diversos índices de citas posibles, será un buen científico, hay miles de ellos. Sin embargo, es considerado uno de los más grandes matemáticos. Su investigación se relaciona con la teoría de números y utiliza relaciones con geometría algebraica Oraz teoría de la representación.

Se hizo famoso por resolver un problema que era completamente insignificante desde el punto de vista de las matemáticas. demostración del último teorema de Fermat (quién no sabe lo que está pasando, se lo recordamos a continuación). Sin embargo, el valor real no fue la solución en sí misma, sino la creación de un nuevo método de prueba que se usó para resolver muchos otros problemas importantes.

Es imposible no reflexionar en este punto sobre la importancia de ciertos asuntos, sobre la jerarquía de los logros humanos. Cientos de miles de jóvenes sueñan con patear la pelota mejor que otros, decenas de miles quieren exponerse a los vientos del Himalaya, saltar de goma en un puente, hacer sonidos que llaman canto, meter comida poco saludable en los demás... o resolver una ecuación innecesaria para nadie. El primer conquistador del monte Everest, Sir Eduardo HillaryRespondió directamente a la pregunta de por qué fue allí: “¡Porque es él, porque es el Everest!”. El autor de estas palabras fue matemático toda su vida, fue mi receta de vida. ¡La única correcta! Pero terminemos con esta filosofía. Volvamos al camino saludable de las matemáticas. ¿Por qué tanto alboroto sobre el teorema de Fermat?

Supongo que todos sabemos lo que son. números primos. Seguro que todo el mundo entiende la frase “descomponer en factores primos”, sobre todo cuando nuestro hijo convierte relojes en piezas.

Pedro de Fermat (1601-1665) fue un abogado de Toulouse, pero también se ocupó de las matemáticas de aficionado y con bastante buenos resultados, pues pasó a la historia de las matemáticas como autor de muchos teoremas de teoría y análisis de números. Solía ​​poner sus observaciones y comentarios en los márgenes de los libros que leía. Y exactamente, alrededor de 1660, escribió en uno de los márgenes:

Aquí está Pierre de Fermat para ti. Desde su época (y permítanme recordarles que el valiente noble gascón D'Artagnan vivía en Francia en ese momento, y Andrzej Kmitsich luchó con Bohuslav Radziwill en Polonia), cientos, y tal vez incluso miles de grandes y pequeños matemáticos intentaron sin éxito reconstruir el razonamiento perdido de un brillante aficionado. Aunque hoy estamos seguros de que la prueba de Fermat no puede ser correcta, molestaba que la simple pregunta de si ecuación xⁿ + tuⁿ = gramoⁿ, n > 2 tiene soluciones en números naturales? puede ser tan difícil.

Muchos de los matemáticos que vinieron a trabajar el 23 de junio de 1993 encontraron en su correo electrónico (que entonces era un invento fresco y aún cálido) un mensaje lacónico: "Rumores de Gran Bretaña: Wiles prueba a Fermat". Al día siguiente, la prensa diaria escribió al respecto, y la última de las conferencias de Wiles reunió a la prensa, la televisión y los fotoperiodistas, como en una conferencia de un futbolista famoso.

Cualquiera que haya leído "Satanás desde el séptimo grado" de Kornel Makuszyński ciertamente recuerda lo que hizo el Sr. Iwo Gąsowski, hermano del profesor de historia, cuyo sistema de interrogatorio a los estudiantes fue descubierto por Adaś Cisowski. Iwo Gąsowski solo estaba resolviendo la ecuación de Fermat, perdiendo tiempo, propiedades y descuidando la casa:

Al final, el Sr. Iwo entendió que los proyectos de ley sobre los poderes no asegurarían la felicidad de la familia y se dio por vencido. A Makuszyński no le gustaba la ciencia, pero tenía razón sobre el Sr. Gąsowski. Iwo Gąsowski cometió un error fundamental. No trató de convertirse en un especialista en el buen sentido de la palabra, sino que actuó como un aficionado. Andrew Wiles es un profesional.

La historia de la lucha contra el último teorema de Fermat es interesante. Se puede ver muy simplemente que es suficiente resolverlos para exponentes que son números primos. Para n = 3 la solución se dio en 1770. Leonard euler, para n = 5 – Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1828) y Adrien Marie Legendre en 1830, y en n = 7 – gabriel cojo en 1840. En el siglo XIX, el matemático alemán dedicó la mayor parte de su energía al problema de Fermat Ernst Eduard Kummer (1810-1893). Aunque no logró el éxito final, probó muchos casos especiales y descubrió muchas propiedades importantes de los números primos. Gran parte del álgebra moderna, la aritmética teórica y la teoría algebraica de números debe su origen al trabajo de Kummer sobre el teorema de Fermat.

Al resolver el problema de Fermat por métodos de la teoría clásica de números, se dividieron en dos casos distintos de complejidad: el primero, cuando suponemos que el producto xyz es coprimo con el exponente n, y el segundo, cuando el número z es igualmente divisible por el exponente. En el segundo caso se sabía que no había soluciones hasta n = 150, y en el primer caso hasta n = 000 (Lehmer, 6). Esto significaba que un posible contraejemplo sería imposible en cualquier caso: se necesitarían billetes de miles de millones de dígitos para obtenerlo.

Aquí hay una vieja historia para ti. A principios de 1988, se sabía en el mundo matemático que Yoiti Miyaoka probó alguna desigualdad, de la cual se siguió lo siguiente: si solo el exponente n es lo suficientemente grande, entonces la ecuación de Fermat ciertamente no tiene soluciones. En comparación con el resultado ligeramente anterior del alemán gerd faltings (1983) El resultado de Miyaoka significaba que si hay soluciones, entonces (en términos de proporcionalidad) solo hay un número finito de ellas. Así, la solución del problema de Fermat se reduce a enumerar el final de muchos casos. Desafortunadamente, no se sabía cuántos de ellos: los métodos utilizados por Miyaoka no permitían una estimación de cuántos ya estaban "bien".

Vale la pena señalar aquí que durante muchos años el estudio del teorema de Fermat se llevó a cabo no en el marco de la teoría de números pura, sino en el marco de la geometría algebraica, una disciplina matemática derivada del álgebra y una extensión de la geometría analítica cartesiana, y ahora extendiéndose por casi todas partes: desde los fundamentos de las matemáticas (teoría topoi en lógica), pasando por el análisis matemático (métodos cohomológicos, haces funcionales), la geometría clásica, hasta la física teórica (haces vectoriales, espacios twistor, solitones).

Cuando los honores no importan

También es difícil no entristecerse por la suerte del matemático, cuya contribución a la solución del problema de Fermat es muy significativa. Estoy hablando de ArakielSuren Yurievich Arakelov, matemático ucraniano de raíces armenias), quien a principios de los 80, cuando cursaba el cuarto año, creó el llamado. teoría de la intersección en variedades aritméticas. Tales superficies están llenas de agujeros e incompletitud, y las curvas en ellas pueden desaparecer repentinamente, por así decirlo, y luego reaparecer. La teoría de la intersección explica cómo calcular el grado de intersección de dichas curvas. Fue la principal herramienta utilizada por Faltings y Miyaoka en su trabajo sobre el problema de Fermat.

Una vez que Arakelov fue invitado a presentar sus resultados en un gran congreso matemático. Sin embargo, debido a que era crítico con el sistema soviético, se le negó el permiso para salir. Pronto fue reclutado en el ejército. Demostró desafiante que estaba en contra del servicio militar en general por razones pacifistas. Según supe de fuentes bastante dudosas, supuestamente lo enviaron a un hospital psiquiátrico cerrado, donde pasó aproximadamente un año. Como saben, aparentemente con fines políticos, los psiquiatras soviéticos seleccionaron un tipo especial de esquizofrenia (en inglés from, que significa "lento", en ruso esquizofrenia lenta).

Es difícil decir al cien por cien cómo fue realmente, porque mis fuentes de información no son muy confiables. Aparentemente, después de salir del hospital, Arakelov pasó varios meses en un monasterio en Zagorsk. Actualmente vive en Moscú con su esposa y sus tres hijos. Él no hace matemáticas. Andrew Wiles está lleno de honores y dinero.

Desde el punto de vista de una sociedad europea bien alimentada, el paso también es incomprensible Grigori Perelman, quien en 2002 resolvió el problema topológico más famoso del siglo XX”,Conjetura de PoinariY luego rechazó todos los premios posibles. Primero la Medalla Fields mencionada al principio, que los matemáticos consideran equivalente al Premio Nobel, y luego el premio de un millón de dólares por resolver uno de los siete problemas matemáticos más importantes que quedaron del siglo XX. “Otros eran mejores, no me importan los honores, porque las matemáticas son mi hobby, tengo comida y cigarrillos”, le dijo más o menos al mundo asombrado.

Éxito después de más de 300 años

El gran teorema de Fermat fue seguramente el problema matemático más famoso y eficaz. Estuvo abierto durante más de trescientos años, estaba formulado de una manera muy clara y legible y era teóricamente posible que cualquiera lo atacara, y en la era de la popularización de las computadoras era relativamente fácil intentar batir otro récord en la evaluación. soluciones posibles. En la historia de las matemáticas, este tema, a través de su papel inspirador, desempeñó un papel muy importante en la "formación de cultura", contribuyendo al surgimiento de disciplinas matemáticas completas. Esto es extraño ya que el problema en sí es relativamente trivial y la mera información sobre la falta de raíces en la ecuación de Fermat no contribuyó mucho al tesoro general del conocimiento matemático.

En 1847, Gabriel Lamet (1795-1870) dio una conferencia en la Academia de Ciencias de Francia anunciando la solución al problema de Fermat. Sin embargo, inmediatamente se notó un sutil error en el razonamiento. Se basó en el uso no autorizado del teorema de descomposición única. Recordamos de la escuela que cada número tiene un desglose único en factores primos, por ejemplo, 2012 = 2 ∙ 2 ∙ 503. El número 503 no tiene divisores (excepto el 1 y el 503), por lo que no se puede extender más.

Los números enteros positivos poseen la propiedad de unicidad de distribución, pero entre otros conjuntos numéricos, no tienen por qué serlo. Por ejemplo, para números de caracteres

tenemos 36 = 2²⋅2³ ,pero también

Al analizar la prueba de Lame, Kummer pudo probar la validez de la conjetura de Fermat para algunos exponentes de p. Los llamó números primos regulares. Este fue el primer paso importante hacia una prueba completa. Se ha desarrollado un mito en torno al teorema de Fermat. "O tal vez es aún peor, ¿tal vez ni siquiera puedes probar que es posible o imposible de resolver?"

Pero desde los años 80, todos sentían que la meta estaba cerca. Recuerdo que el Muro de Berlín aún estaba en pie, y ya estaba escuchando conferencias sobre "pronto, en un momento". Bueno, alguien tenía que ser el primero. Andrew Wiles terminó su conferencia con una flema inglesa: "Creo que Fermat lo demuestra", y pasó algún tiempo antes de que la audiencia abarrotada se diera cuenta de lo que había sucedido: un problema matemático de 330 años de antigüedad fue trabajado intensamente por cientos de matemáticos del mundo. propio regimiento e innumerables aficionados, como Ivo Gonsovsky de las novelas de Makushinsky. Y Andrew Wiles tuvo el honor de estrechar la mano de Harald V, rey de Noruega. Quizás no prestó atención a la modesta asignación del Premio Abel, unos varios cientos de miles de euros, ¿por qué necesita tanto dinero?