ENTONCES PARA QUIÉN, es decir: PRUEBA DONDE PUEDES - parte 2

En el episodio anterior, tratamos con Sudoku, un juego de aritmética en el que los números se organizan básicamente en varios diagramas de acuerdo con ciertas reglas. La variante más común es un tablero de ajedrez de 9×9, dividido adicionalmente en nueve celdas de 3×3. Los números del 1 al 9 deben colocarse en él para que no se repitan ni en una fila vertical (los matemáticos dicen: en una columna) ni en una fila horizontal (los matemáticos dicen: en una fila) - y, además, para que no repiten. repita dentro de cualquier cuadrado más pequeño.

Na higo. 1 vemos este rompecabezas en una versión más simple, que es un cuadrado de 6 × 6 dividido en rectángulos de 2 × 3. Insertamos los números 1, 2, 3, 4, 5, 6 en él, para que no se repitan verticalmente, ni horizontalmente, ni en cada uno de los hexágonos seleccionados.

Probemos lo que se muestra en el cuadro superior. ¿Puedes llenarlo con números del 1 al 6 según las reglas establecidas para este juego? Es posible, pero ambiguo. Veamos: dibuja un cuadrado a la izquierda o un cuadrado a la derecha.

Podemos decir que esta no es la base del rompecabezas. Por lo general, asumimos que un rompecabezas tiene una solución. La tarea de encontrar diferentes bases para el "gran" Sudoku, 9x9, es una tarea difícil y no hay posibilidades de resolverlo por completo.

Otra conexión importante es el sistema contradictorio. El cuadrado inferior del medio (el que tiene el número 2 en la esquina inferior derecha) no se puede completar. ¿Por qué?

Diversión y Retiros

Seguimos jugando. Usemos la intuición de los niños. Creen que el entretenimiento es una introducción al aprendizaje. Vayamos al espacio. encendido higo. 2 todos ven la grilla tetraedrode pelotas, por ejemplo, pelotas de ping-pong? Recordar las lecciones de geometría de la escuela. Los colores en el lado izquierdo de la imagen explican a qué se pega al ensamblar el bloque. En particular, se pegarán tres bolas de esquina (rojas) en una. Por lo tanto, deben ser el mismo número. Tal vez 9. ¿Por qué? ¿Y por qué no?

Oh, no lo expresé задачи. Suena más o menos así: ¿es posible inscribir los números del 0 al 9 en la cuadrícula visible para que cada cara contenga todos los números? La tarea no es difícil, ¡pero cuánto necesitas imaginar! No estropearé el placer de los lectores y no daré una solución.

Esta es una forma muy hermosa y subestimada. octaedro regular, construida a partir de dos pirámides (=pirámides) de base cuadrada. Como sugiere su nombre, el octaedro tiene ocho caras.

Hay seis vértices en un octaedro. se contradice cuboque tiene seis caras y ocho vértices. Los bordes de ambos bultos son iguales: doce cada uno. Este sólidos dobles - esto significa que al conectar los centros de las caras del cubo obtenemos un octaedro, y los centros de las caras del octaedro nos darán un cubo. Ambos golpes funcionan ("porque tienen que hacerlo") Fórmula de Euler: La suma del número de vértices y el número de caras es 2 más que el número de aristas.

3. Un octaedro regular en proyección paralela y una red octaédrica compuesta de esferas de tal forma que cada arista tiene cuatro esferas.

Trabajo 1. Primero, escribe la última oración del párrafo anterior usando una fórmula matemática. Sobre el higo. 3 ves una cuadrícula octaédrica, también formada por esferas. Cada borde tiene cuatro bolas. Cada cara es un triángulo de diez esferas. El problema se establece de forma independiente: ¿es posible poner números del 0 al 9 en los círculos de la cuadrícula para que después de pegar un cuerpo sólido, cada pared contenga todos los números (se deduce que sin repetición). Como antes, la mayor dificultad en esta tarea es cómo se transforma la malla en un cuerpo sólido. No puedo explicarlo por escrito, así que tampoco doy la solución aquí.

4. Dos icosaedros de pelotas de ping-pong. Observe el esquema de color diferente.

ya Platón (y vivió en los siglos V-IV a.C.) conocía todos los poliedros regulares: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro i icosaedro. Es sorprendente cómo llegó allí: ¡sin lápiz, sin papel, sin bolígrafo, sin libros, sin teléfono inteligente, sin internet! No hablaré del dodecaedro aquí. Pero el sudoku icosaédrico es interesante. Vemos este bulto en ilustración 4y su red Fig. 5.

5. Malla regular del icosaedro.

Como antes, esta no es una cuadrícula en el sentido en que recordamos (?!) De la escuela, sino una forma de pegar triángulos de bolas (bolas).

Trabajo 2. ¿Cuántas bolas se necesitan para construir tal icosaedro? ¿Sigue siendo cierto el siguiente razonamiento: dado que cada cara es un triángulo, si debe haber 20 caras, entonces se necesitan hasta 60 esferas?

6. Cuadrícula de un icosaedro a partir de esferas. Cada círculo es, por ejemplo, una pelota de ping-pong, pero la construcción de círculos sobre círculos marcados con el mismo color se funde en uno. Entonces tenemos doce esferas (= doce vértices: rojo, azul, morado, azul y ocho amarillo).

Es fácil ver que tres números en el icosaedro no son suficientes. Más precisamente: es imposible enumerar vértices con los números 1, 2, 3 para que cada cara (triangular) tenga estos tres números y no haya repeticiones. ¿Es posible con cuatro números? ¡Sí, es posible! Miremos a Arroz. 6 y 7.

7. He aquí cómo numerar las esferas que forman el icosaedro de modo que cada cara contenga números distintos de 1, 2, 3, 4. ¿Cuál de los cuerpos de la fig. 4 está coloreado así?

Trabajo 3. Tres de los cuatro números se pueden elegir de cuatro maneras: 123, 124, 134, 234. Encuentre cinco triángulos de este tipo en el icosaedro de la fig. 7 (así como de ilustraciones una).

Trabajo 4 (requiere muy buena imaginación espacial). El icosaedro tiene doce vértices, lo que significa que se puede unir a partir de doce bolas (higo. 7). Tenga en cuenta que hay tres vértices (=bolas) etiquetados con 1, tres con 2, y así sucesivamente. Así, las bolas del mismo color forman un triángulo. ¿Qué es este triángulo? ¿Quizás equilátero? Mirar de nuevo ilustraciones una.

La siguiente tarea para el abuelo/abuela y nieto/nieta. Los padres también pueden finalmente probar suerte, pero necesitan paciencia y tiempo.

Trabajo 5. Compre doce (preferiblemente 24) pelotas de ping-pong, unos cuatro colores de pintura, un pincel y el pegamento adecuado. No recomiendo los rápidos como Superglue o Droplet porque se secan demasiado rápido y son peligrosos para los niños. Pega el icosaedro. Vista a su nieta con una camiseta que se lavará (o desechará) inmediatamente después. Cubra la mesa con papel de aluminio (preferiblemente con periódicos). Colorea cuidadosamente el icosaedro con cuatro colores 1, 2, 3, 4, como se muestra en la fig. higo. 7. Puedes cambiar el orden: primero colorea los globos y luego pégalos. Al mismo tiempo, los círculos pequeños deben dejarse sin pintar para que la pintura no se pegue a la pintura.

Ahora la tarea más difícil (más precisamente, toda su secuencia).

Trabajo 6 (Más específicamente, el tema general). Trace el icosaedro como un tetraedro y un octaedro en Arroz. 2 y 3 Esto significa que debe haber cuatro bolas en cada borde. En esta variante, la tarea requiere mucho tiempo e incluso es costosa. Empecemos por averiguar cuántas bolas necesitas. Cada cara tiene diez esferas, ¿entonces el icosaedro necesita doscientas? ¡No! Hay que recordar que se comparten muchos balones. ¿Cuántas aristas tiene un icosaedro? Se puede calcular minuciosamente, pero ¿para qué sirve la fórmula de Euler?

w–k+s=2

donde w, k, s son el número de vértices, aristas y caras, respectivamente. Recordamos que w = 12, s = 20, lo que significa k = 30. Tenemos 30 aristas del icosaedro. Puedes hacerlo de otra manera, porque si hay 20 triángulos, entonces solo tienen 60 aristas, pero dos de ellas son comunes.

Calculemos cuántas bolas necesitas. En cada triángulo solo hay una bola interna, ni en la parte superior de nuestro cuerpo ni en el borde. Por lo tanto, tenemos un total de 20 bolas de este tipo. Hay 12 picos. Cada arista tiene dos bolas que no son vértices (están dentro de la arista, pero no dentro de la cara). Como hay 30 aristas, hay 60 canicas, pero dos de ellas son compartidas, lo que significa que solo necesitas 30 canicas, por lo que necesitas un total de 20 + 12 + 30 = 62 canicas. Las pelotas se pueden comprar por al menos 50 centavos (generalmente más caras). Si le sumas el costo del pegamento, te saldrá… mucho. Una buena unión requiere varias horas de trabajo minucioso. Juntos son adecuados para un pasatiempo relajante; los recomiendo en lugar de, por ejemplo, mirar televisión.

Digresión 1. En la serie de películas Years, Days de Andrzej Wajda, dos hombres juegan al ajedrez "porque de alguna manera tienen que pasar el tiempo hasta la cena". Tiene lugar en la Cracovia gallega. Efectivamente: ya se han leído los periódicos (entonces tenían 4 páginas), aún no se ha inventado la televisión y el teléfono, no hay partidos de fútbol. Aburrimiento en los charcos. En tal situación, a la gente se le ocurrió entretenimiento. Hoy las tenemos tras pulsar el mando a distancia...

Digresión 2. En la reunión de 2019 de la Asociación de Profesores de Matemáticas, un profesor español hizo una demostración de un programa informático que puede pintar paredes sólidas de cualquier color. Fue un poco espeluznante, porque solo dibujaron las manos, casi cortaron el cuerpo. Pensé para mis adentros: ¿cuánta diversión puedes obtener de tal "sombreado"? Todo toma dos minutos, y al cuarto no recordamos nada. Mientras tanto, la “costura” a la antigua calma y educa. Quien no crea, que lo intente.

Volvamos al siglo XIX ya nuestras realidades. Si no queremos relajación en forma de laborioso pegado de bolas, dibujaremos al menos una cuadrícula de un icosaedro, cuyos bordes tienen cuatro bolas. ¿Cómo hacerlo? córtalo bien Fig. 6. El lector atento ya adivina el problema:

Trabajo 7. ¿Es posible enumerar las bolas con números del 0 al 9 para que todos estos números aparezcan en cada cara de tal icosaedro?

¿Para qué nos pagan?

Hoy en día, a menudo nos preguntamos cuál es el propósito de nuestras actividades, y el "contribuyente gris" preguntará por qué debería pagar a los matemáticos para que resuelvan tales acertijos.

La respuesta es bastante simple. Tales "rompecabezas", interesantes en sí mismos, son "un fragmento de algo más serio". Después de todo, los desfiles militares son solo una parte externa y espectacular de un servicio difícil. Daré solo un ejemplo, pero comenzaré con un tema matemático extraño pero reconocido internacionalmente. En 1852, un estudiante de inglés le preguntó a su profesor si era posible colorear un mapa con cuatro colores para que los países vecinos siempre se mostraran en colores diferentes. Permítanme agregar que no consideramos "vecinos" a aquellos que se encuentran en un solo punto, como los estados de Wyoming y Utah en los EE. UU. El profesor no sabía... y el problema había estado esperando una solución durante más de cien años.

8. Icosaedro de bloques RECO. Los reflectores de destello muestran lo que el icosaedro tiene en común con el triángulo y el pentágono. Cinco triángulos convergen en cada vértice.

Sucedió de una manera inesperada. En 1976, un grupo de matemáticos estadounidenses escribieron un programa para resolver este problema (y decidieron: sí, cuatro colores siempre serán suficientes). Esta fue la primera prueba de un hecho matemático obtenido con la ayuda de una "máquina matemática", como se llamaba a una computadora hace medio siglo (e incluso antes: "cerebro electrónico").

Aquí hay un "mapa de Europa" especialmente mostrado (higo. 9). Aquellos países que tienen una frontera común están conectados. Colorear el mapa es lo mismo que colorear los círculos de este gráfico (llamado el gráfico) para que ningún círculo conectado sea del mismo color. Una mirada a Liechtenstein, Bélgica, Francia y Alemania muestra que tres colores no son suficientes. Si quieres, Lector, coloréalo con cuatro colores.

9. ¿Quién limita con quién en Europa?

Bueno, sí, pero ¿vale la pena el dinero de los contribuyentes? Así que veamos el mismo gráfico de forma un poco diferente. Olvida que hay estados y fronteras. Deje que los círculos simbolicen los paquetes de información que se enviarán de un punto a otro (por ejemplo, de P a EST), y los segmentos representen posibles conexiones, cada una de las cuales tiene su propio ancho de banda. ¿Enviar lo antes posible?

Primero, veamos una situación muy simplificada, pero también muy interesante desde un punto de vista matemático. Tenemos que enviar algo desde el punto S (= como inicio) al punto M (= final) usando una red de conexión con el mismo ancho de banda, digamos 1. Esto lo vemos en higo. 10.

10. Red de conexiones desde Statsyika Zdrój hasta Megapolis.

Imaginemos que se necesita enviar alrededor de 89 bits de información de S a M. Al autor de estas palabras le gustan los problemas con los trenes, por lo que imagina que es gerente en Stacie Zdrój, desde donde tiene que enviar 144 vagones. a la estación metrópolis. ¿Por qué exactamente 144? Porque, como veremos, esto se utilizará para calcular el rendimiento de toda la red. La capacidad es de 1 en cada lote, es decir un coche puede pasar por unidad de tiempo (un bit de información, posiblemente también Gigabyte).

Asegurémonos de que todos los autos se encuentren al mismo tiempo en M. Todos lleguen allí en 89 unidades de tiempo. Si tengo que enviar un paquete de información muy importante de S a M, lo divido en grupos de 144 unidades y lo empujo como se indicó anteriormente. Las matemáticas garantizan que este será el más rápido. ¿Cómo supe que necesitas 89? De hecho lo adiviné, pero si no lo adiviné, tendría que averiguarlo. Ecuaciones de Kirchhoff (¿alguien recuerda? - estas son ecuaciones que describen el flujo de corriente). El ancho de banda de la red es 184/89, que es aproximadamente igual a 1,62.

sobre la alegría

Por cierto, me gusta el número 144. Me gustaba viajar en el autobús con este número a la Plaza del Castillo en Varsovia, cuando no había un Castillo Real restaurado al lado. Quizás los lectores jóvenes sepan lo que son una docena. Son 12 copias, pero solo los lectores mayores recuerdan que una docena de docenas, es decir. 122=144, este es el llamado lote. Y todos los que saben matemáticas un poco más que el plan de estudios escolar comprenderán de inmediato que higo. 10 tenemos números de Fibonacci y que el ancho de banda de la red está cerca del "número dorado"

En la secuencia de Fibonacci, 144 es el único número que es un cuadrado perfecto. Ciento cuarenta y cuatro también es un "número alegre". Así es como un matemático aficionado indio Dattatreya Ramachandra Caprecar en 1955, nombró números que son divisibles por la suma de sus dígitos constituyentes:

si el lo supiera Adam Mickiewicz, ciertamente habría escrito no en Dzyady: “De una madre extraña; su sangre son sus antiguos héroes / Y su nombre es cuarenta y cuatro, solo que más elegante: Y su nombre es ciento cuarenta y cuatro.

Tómate el entretenimiento en serio

Espero haber convencido a los lectores de que los Sudoku son el lado divertido de las preguntas que sin duda merecen ser tomadas en serio. No puedo desarrollar más este tema. Ah, cálculo completo del ancho de banda de la red a partir del diagrama proporcionado en higo. 9 escribir un sistema de ecuaciones tomaría dos horas o más, ¡quizás incluso decenas de segundos (!) de trabajo en la computadora.