Cifrados y espías

En el Rincón de Matemáticas de hoy, voy a echar un vistazo a un tema que discutí en el Campamento de Ciencias anual para niños de la Fundación Nacional de los Niños. La fundación busca niños y jóvenes con intereses científicos. No tienes que ser extremadamente talentoso, pero sí necesitas tener una "veta científica". No se requieren muy buenas calificaciones escolares. Inténtalo, puede que te guste. Si eres estudiante de último año de primaria o secundaria, aplica. Por lo general, los padres o la escuela hacen los informes, pero no siempre es así. Busca la web de la Fundación e infórmate.

Cada vez se habla más en la escuela de "codificación", en referencia a la actividad antes conocida como "programación". Este es un procedimiento común para los educadores teóricos. Desenterran métodos antiguos, les dan un nuevo nombre y el "progreso" se hace por sí mismo. Hay varias áreas donde ocurre este fenómeno cíclico.

Se puede concluir que desvalorizo ​​la didáctica. No. En el desarrollo de la civilización, a veces volvemos a lo que fue, fue abandonado y ahora está siendo revivido. Pero nuestro rincón es matemático, no filosófico.

Pertenecer a una comunidad particular significa también "símbolos comunes", lecturas, dichos y parábolas comunes. El que aprendió perfectamente el idioma polaco "hay un gran matorral en Shchebrzeszyn, un escarabajo zumba en los juncos" inmediatamente será expuesto como un espía de un estado extranjero si no responde a la pregunta de qué está haciendo el pájaro carpintero. ¡Por supuesto que se está asfixiando!

Esto no es solo una broma. En diciembre de 1944, los alemanes lanzaron su última ofensiva en las Ardenas a un gran costo. Movilizaron a soldados que hablaban inglés con fluidez para interrumpir el movimiento de las tropas aliadas, por ejemplo, llevándolas en la dirección equivocada en las encrucijadas. Después de un momento de sorpresa, los estadounidenses comenzaron a hacer preguntas sospechosas a los soldados, cuyas respuestas serían obvias para una persona de Texas, Nebraska o Georgia e inconcebibles para alguien que no creció allí. El desconocimiento de las realidades condujo directamente a la ejecución.

Al punto. Recomiendo a los lectores el libro de Lukasz Badowski y Zaslaw Adamashek "Laboratorio en un cajón de escritorio - Matemáticas". Este es un libro maravilloso que muestra brillantemente que las matemáticas son realmente útiles para algo y que el "experimento matemático" no son palabras vacías. Incluye, entre otras cosas, la construcción descrita del "enigma de cartón", un dispositivo que solo nos tomará quince minutos crear y que funciona como una máquina de cifrado seria. La idea en sí era muy conocida, los autores mencionados la desarrollaron maravillosamente, y la cambiaré un poco y la envolveré en ropa más matemática.

sierras para metales

En una de las calles de mi pueblo dacha en los suburbios de Varsovia, el pavimento fue desmantelado recientemente de "trlinka" - losas de pavimento hexagonales. El viaje fue incómodo, pero el alma del matemático se regocijó. Cubrir el plano con polígonos regulares (es decir, regulares) no es fácil. Solo pueden ser triángulos, cuadrados y hexágonos regulares.

Tal vez bromeé un poco con esta alegría espiritual, pero el hexágono es una figura hermosa. A partir de él, puede hacer un dispositivo de cifrado bastante exitoso. La geometría ayudará. El hexágono tiene simetría rotacional: se superpone cuando se gira un múltiplo de 60 grados. El campo marcado, por ejemplo, con la letra A en la parte superior izquierda higo. 1 después de girar a través de este ángulo, también caerá en el cuadro A, y lo mismo con otras letras. Entonces, cortemos seis cuadrados de la cuadrícula, cada uno con una letra diferente. Ponemos la cuadrícula obtenida de esta manera en una hoja de papel. En los seis campos libres, ingrese seis letras del texto que queremos cifrar. Giremos la hoja 60 grados. Aparecerán seis nuevos campos: ingrese las siguientes seis letras de nuestro mensaje.

Arroz. 1. Trlinks de la alegría de las matemáticas.

A la derecha higo. 1 tenemos un texto codificado de esta manera: "Hay una enorme locomotora de vapor pesada en la estación".

Ahora un poco de matemática escolar será útil. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar dos números entre sí?

¿Qué pregunta tan estúpida? Para dos: o uno delante o el otro.

Bien. ¿Y tres números?

Tampoco es difícil enumerar todas las configuraciones:

123, 132, 213, 231, 312, 321.

Bueno, es para cuatro! Todavía se puede explicar claramente. Adivina la regla de orden que puse:

1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,

1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,

2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,

3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321

Cuando los dígitos son cinco, tenemos 120 configuraciones posibles. llamémoslos permutaciones. El número de permutaciones posibles de n números es el producto 1 2 3 ... n, llamado сильный y marcado con un signo de exclamación: 3!=6, 4!=24, 5!=120. Para el próximo número 6 tenemos 6!=720. Usaremos esto para hacer que nuestro escudo de cifrado hexagonal sea más complejo.

Elegimos una permutación de números del 0 al 5, por ejemplo, 351042. Nuestro disco hexagonal tiene un guión en el medio del campo, para que pueda colocarse "en la posición cero", un guión hacia arriba, como en la fig. 1. Ponemos el disco de esta manera en una hoja de papel en la que tenemos que escribir nuestro informe, pero no lo escribimos de inmediato, sino que lo giramos tres veces 60 grados (es decir, 180 grados) e ingresamos seis letras en los campos vacíos. Volvemos a la posición inicial. Giramos el dial cinco veces en 60 grados, es decir, en cinco "dientes" de nuestro dial. Imprimimos. La siguiente posición de escala es la posición girada 60 grados alrededor de cero. La cuarta posición es 0 grados, esta es la posición inicial.

¿Entiendes lo que pasó? Tenemos una oportunidad adicional: ¡complicar nuestra "máquina" más de setecientas veces! Entonces, tenemos dos posiciones independientes del "autómata": la elección de la cuadrícula y la elección de la permutación. La cuadrícula se puede elegir en 66 = 46656 formas, permutación 720. Esto da 33592320 posibilidades. ¡Más de 33 millones de cifras! Casi un poco menos, porque algunas cuadrículas no se pueden cortar de papel.

En la parte baja higo. 1 tenemos un mensaje codificado así: "Te envío cuatro divisiones de paracaidistas". Es fácil entender que no se debe permitir que el enemigo sepa sobre esto. Pero entenderá algo de esto:

ТПОРОПВМАНВЕОРДИЗЗ

YYLOAKVMDEYCHESH,

incluso con la firma 351042?

Estamos construyendo Enigma, una máquina de cifrado alemana

Arroz. 2. Un ejemplo de la configuración inicial de nuestra máquina de cifrado.

Permutaciones (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).

Como ya mencioné, la idea de crear una máquina de cartón de este tipo se la debo al libro "Lab in a Drawer - Mathematics". Mi “construcción” es algo diferente de la dada por sus autores.

La máquina de cifrado utilizada por los alemanes durante la guerra tenía un principio ingeniosamente simple, algo similar al que vimos con el cifrado hexadecimal. Cada vez lo mismo: romper asignación dura de una letra a otra letra. Debe ser reemplazable. ¿Cómo hacerlo para tener control sobre él?

Elijamos no una permutación cualquiera, sino una que tenga ciclos de longitud 2. En pocas palabras, algo así como el "Gaderipoluk" descrito aquí hace unos meses, pero que abarca todas las letras del alfabeto. Pongámonos de acuerdo en 24 letras - sin ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q. ¿Cuántas permutaciones de este tipo? Esta es una tarea para graduados de secundaria (deberían poder resolverla de inmediato). ¿Cuántos? ¿Mucho? ¿Varios miles? Sí:

1912098225024001185793365052108800000000 (ni intentemos leer este número). Hay tantas posibilidades para establecer la posición "cero". Y puede ser difícil.

Nuestra máquina consta de dos discos redondos. En uno de ellos, que sigue en pie, hay escritas letras. Es un poco como el dial de un teléfono antiguo, donde marcabas un número girando el dial hasta el final. Rotary es el segundo con un esquema de color. La forma más fácil es ponerlos en un corcho normal con un alfiler. En lugar de corcho, puedes usar una tabla delgada o cartón grueso. Lukasz Badowski y Zasław Adamaszek recomiendan colocar ambos discos en una caja de CD.

Imagina que queremos codificar la palabra ARMATY (Arroz. 2 y 3). Coloque el dispositivo en la posición cero (flecha hacia arriba). La letra A corresponde a la F. Gire el circuito interno una letra a la derecha. Tenemos la letra R para codificar, ahora corresponde a A. Después de la siguiente rotación, vemos que la letra M corresponde a U. La siguiente rotación (cuarto diagrama) da la correspondencia A - P. En el quinto dial tenemos T - A. Finalmente (sexto círculo) Y – Y El enemigo probablemente no adivinará que nuestros CFCFA serán peligrosos para él. ¿Y cómo leerá “nuestro” el despacho? Deben tener la misma máquina, el mismo "programado", es decir, con la misma permutación. El cifrado comienza en la posición cero. Así que el valor de F es A. Gira el dial en el sentido de las agujas del reloj. La letra A ahora está asociada con R. Gira el dial a la derecha y debajo de la letra U encuentra M, etc. El empleado de cifrado corre hacia el general: "¡General, estoy informando, las armas están llegando!"

Arroz. 3. El principio de funcionamiento de nuestro papel Enigma.

Arroz. 3. El principio de funcionamiento de nuestro papel Enigma.

Las posibilidades de incluso un Enigma tan primitivo son asombrosas. Podemos elegir otras permutaciones de salida. Podemos, y hay aún más oportunidades aquí, no con una "serif" regularmente, sino en un cierto orden que cambia diariamente, similar a un hexágono (por ejemplo, primeras tres letras, luego siete, luego ocho, cuatro ... ..etc.).

¡¿Cómo puedes adivinar?! Y sin embargo, para los matemáticos polacos (Marian Reevski, Henry Zigalski, Jerzy Ruzicki) sucedió. La información así obtenida fue invaluable. Anteriormente, tuvieron una contribución igualmente importante a la historia de nuestra defensa. Václav Serpinski i Stanislav Mazurkevichque violó el código de las tropas rusas en 1920. El cable interceptado le dio a Piłsudski la oportunidad de realizar la famosa maniobra desde el río Vepsz.

Recuerdo a Vaslav Sierpinski (1882-1969). Parecía un matemático para quien el mundo exterior no existía. No podía hablar sobre su participación en la victoria en 1920 tanto por razones militares como ... por razones políticas (a las autoridades de la República Popular de Polonia no les gustaban los que nos defendían de la Unión Soviética).

Higo. 4. Permutación (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).

Arroz. 5. Hermosa decoración, pero no adecuada para el cifrado. Con demasiada regularidad.

Trabajo 1. Na higo. 4 tienes otra permutación para crear Enigma. Copie el dibujo a la xerografía. Construye un auto, codifica tu nombre y apellido. Mi CWONUE JTRYGT. Si necesita mantener sus notas en privado, use Cardboard Enigma.

Trabajo 2. Cifre su nombre y apellido de uno de los "automóviles" que vio, pero (¡atención!) Con una complicación adicional: no giramos una muesca a la derecha, sino de acuerdo con el esquema {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, ....} - es decir, primero por uno, luego por dos, luego por tres, luego por 2, luego nuevamente por 1, luego por 2, etc., tal "onda pequeña" . Asegúrese de que mi nombre y apellido estén encriptados como CZTTAK SDBITH. ¿Ahora entiendes lo poderosa que era la máquina Enigma?

Resolución de problemas para bachilleres. ¿Cuántas opciones de configuración para Enigma (en esta versión, como se describe en el artículo)? Tenemos 24 letras. Seleccionamos el primer par de letras; esto se puede hacer en

formas. El siguiente par se puede elegir en

maneras, más

etc. Después de los cálculos correspondientes (todos los números deben multiplicarse), obtenemos

151476660579404160000

¡Luego divide ese número por 12! (12 factorial), porque los mismos pares se pueden obtener en diferente orden. Así que al final obtenemos "total"

316234143225,

eso es un poco más de 300 mil millones, lo que no parece un número asombrosamente grande para las supercomputadoras de hoy. Sin embargo, si se tiene en cuenta el orden aleatorio de las propias permutaciones, este número aumenta significativamente. También podemos pensar en otros tipos de permutaciones.

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