Encanto inverso

Se habla mucho del "encanto de los opuestos", y no solo en matemáticas. Recuerda que los números opuestos son aquellos que difieren solo en el signo: más 7 y menos 7. La suma de los números opuestos es cero. Pero para nosotros (es decir, los matemáticos) los recíprocos son más interesantes. Si el producto de números es igual a 1, entonces estos números son inversos entre sí. Todo número tiene su opuesto, todo número distinto de cero tiene su inverso. El recíproco del recíproco es la semilla.

La inversión ocurre siempre que dos cantidades están relacionadas entre sí, de modo que si una aumenta, la otra disminuye a la tasa correspondiente. "Relevante" significa que el producto de estas cantidades no cambia. Lo recordamos de la escuela: esta es una proporción inversa. Si quiero llegar a mi destino el doble de rápido (es decir, reducir el tiempo a la mitad), necesito duplicar mi velocidad. Si el volumen de un recipiente sellado con gas se reduce n veces, entonces su presión aumentará n veces.

En la educación primaria, distinguimos cuidadosamente entre comparaciones diferenciales y relativas. "Cuánto más"? – “¿Cuántas veces más?”

Estas son algunas de las actividades escolares:

Trabajo 1. De los dos valores positivos, el primero es 5 veces mayor que el segundo ya la vez 5 veces mayor que el primero. Cuáles son las dimensiones?

Trabajo 2. Si un número es 3 mayor que el segundo, y el segundo es 2 mayor que el tercero, ¿cuánto mayor es el primer número que el tercero? Si el primer numero positivo es el doble del segundo, y el primer numero es el triple del tercero, ¿cuantas veces el primer numero es mayor que el tercero?

Trabajo 3. En la tarea 2, solo se permiten números naturales. ¿Es posible tal disposición como la descrita allí?

Trabajo 4. De los dos valores positivos, el primero es 5 veces el segundo y el segundo es 5 veces el primero. ¿Es posible?

El concepto de "promedio" o "promedio" parece muy simple. Si pedaleé 55 km el lunes, 45 km el martes y 80 km el miércoles, en promedio pedaleé 60 km por día. Estamos totalmente de acuerdo con estos cálculos, aunque son un poco extraños porque no he recorrido 60 km en un día. Con la misma facilidad aceptamos las acciones de una persona: si doscientas personas visitan un restaurante dentro de los seis días, entonces la tarifa diaria promedio es de 33 personas y un tercio. ¡HM!

Hay problemas solo con el tamaño promedio. me gusta andar en bicicleta Entonces aproveché la oferta de la agencia de viajes "Vamos con nosotros": entregan el equipaje en el hotel, donde el cliente monta una bicicleta con fines recreativos. El viernes conduje durante cuatro horas: las dos primeras a una velocidad de 24 km por hora. Entonces me cansé tanto que durante los dos siguientes a razón de sólo 16 por hora. ¿Cuál fue mi velocidad promedio? Por supuesto (24+16)/2=20km=20km/h.

El sábado, sin embargo, se dejó el equipaje en el hotel, y fui a ver las ruinas del castillo, que está a 24 km, y habiéndolas visto, regresé. Manejé una hora en una dirección, regresé más lentamente, a una velocidad de 16 km por hora. ¿Cuál fue mi velocidad promedio en la ruta hotel-castillo-hotel? 20 km por hora? Por supuesto que no. Después de todo, conduje un total de 48 km y me tomó una hora ("allí") y una hora y media de regreso. 48 km en dos horas y media, es decir, hora 48/2,5=192/10=19,2 km! En esta situación, la velocidad media no es la media aritmética, sino el armónico de los valores dados:

y esta fórmula de dos pisos se puede leer como sigue: la media armónica de los números positivos es el recíproco de la media aritmética de su recíproco. El recíproco de la suma de los recíprocos aparece en muchos coros de tareas escolares: si un trabajador cava horas, el otro - b horas, entonces, trabajando juntos, cavan a tiempo. piscina de agua (una por hora, la otra a las b horas). Si una resistencia tiene R1 y la otra tiene R2, entonces tienen una resistencia en paralelo. 

Si una computadora puede resolver un problema en segundos, otra computadora en b segundos, entonces cuando trabajan juntas...

¡Detener! Aquí termina la analogía, porque todo depende de la velocidad de la red: la eficiencia de las conexiones. Los trabajadores también pueden entorpecerse o ayudarse unos a otros. Si un hombre puede cavar un pozo en ocho horas, ¿pueden hacerlo ochenta trabajadores en 1/10 de hora (o 6 minutos)? Si seis porteadores llevan el piano al primer piso en 6 minutos, ¿cuánto tardará uno de ellos en llevar el piano al sexagésimo piso? Lo absurdo de tales problemas trae a la mente la aplicabilidad limitada de todas las matemáticas a problemas "de la vida".

Sobre un vendedor poderoso 

Las balanzas ya no se usan. Recuerde que se colocaba un peso en un plato de tales balanzas, y los bienes que se estaban pesando se colocaban en el otro, y cuando el peso estaba en equilibrio, los bienes pesaban tanto como el peso. Por supuesto, ambos brazos de la carga de peso deben tener la misma longitud, de lo contrario, el pesaje será incorrecto.

Correcto. Imagine un vendedor que tiene un peso con un apalancamiento desigual. Sin embargo, quiere ser honesto con los clientes y pesa los productos en dos lotes. Primero, pone un peso en una bandeja y en la otra una cantidad correspondiente de productos, para que la balanza esté equilibrada. Luego pesa la segunda "mitad" de los productos en orden inverso, es decir, pone el peso en el segundo cuenco y los productos en el primero. Dado que las manos son desiguales, las "mitades" nunca son iguales. Y la conciencia del vendedor está tranquila, y los compradores elogian su honestidad: "Lo que quité aquí, luego lo agregué".

Sin embargo, echemos un vistazo más de cerca al comportamiento de un vendedor que quiere ser honesto a pesar del peso precario. Deje que los brazos de la balanza tengan longitudes a y b. Si uno de los tazones se carga con un kilogramo de peso y el otro con x bienes, entonces la balanza está en equilibrio si ax = b la primera vez y bx = a la segunda vez. Entonces, la primera parte de los bienes es igual a b / a kilogramo, la segunda parte es a / b. Buen peso tiene a = b, por lo que el comprador recibirá 2 kg de mercancías. Veamos qué sucede cuando a ≠ b. Entonces a – b ≠ 0 y de la fórmula de multiplicación reducida tenemos

Llegamos a un resultado inesperado: el método aparentemente justo de "promediar" la medición en este caso beneficia al comprador, que recibe más bienes.

Trabajo 5. (¡Importante, de ninguna manera en matemáticas!). Un mosquito pesa 2,5 miligramos y un elefante cinco toneladas (esto es un dato bastante correcto). Calcule la media aritmética, la media geométrica y la media armónica de las masas de mosquitos y elefantes (pesos). Verifique los cálculos y vea si tienen algún sentido además de los ejercicios aritméticos. Veamos otros ejemplos de cálculos matemáticos que no tienen sentido en la "vida real". Consejo: Ya hemos visto un ejemplo en este artículo. ¿Significa esto que un estudiante anónimo cuya opinión encontré en Internet tenía razón: “Las matemáticas engañan a la gente con los números”?

Sí, estoy de acuerdo en que, en la grandeza de las matemáticas, puedes "engañar" a la gente: cada segundo anuncio de champú dice que aumenta la esponjosidad en algún porcentaje. ¿Buscamos otros ejemplos de herramientas cotidianas útiles que se pueden utilizar para la actividad delictiva?

Gramos!

El título de este pasaje es un verbo (primera persona del plural) no un sustantivo (plural nominativo de una milésima de kilogramo). La armonía implica orden y música. Para los antiguos griegos, la música era una rama de la ciencia - hay que admitir que si decimos así, trasladamos el significado actual de la palabra "ciencia" a la época anterior a nuestra era. Pitágoras vivió en el siglo XVI aC No solo desconocía la computadora, el teléfono móvil y el correo electrónico, sino que tampoco sabía quiénes eran Robert Lewandowski, Mieszko I, Carlomagno y Cicerón. No sabía ni los números arábigos ni siquiera los romanos (se empezaron a utilizar alrededor del siglo V a. C.), no sabía qué eran las Guerras Púnicas... Pero sabía de música...

Sabía que en los instrumentos de cuerda los coeficientes de vibración eran inversamente proporcionales a la longitud de las partes vibrantes de las cuerdas. Lo sabía, lo sabía, simplemente no podía expresarlo de la forma en que lo hacemos hoy.

Las frecuencias de las vibraciones de las dos cuerdas que componen una octava están en una proporción de 1:2, es decir, la frecuencia de la nota más alta es el doble de la frecuencia de la nota más baja. La relación de vibración correcta para la quinta es 2:3, la cuarta es 3:4, la tercera mayor pura es 4:5, la tercera menor es 5:6. Estos son agradables intervalos de consonantes. Luego hay dos neutrales, con relaciones de vibración de 6: 7 y 7: 8, luego disonantes: un tono grande (8: 9), un tono pequeño (9:10). Estas fracciones (razones) son como las razones de los miembros sucesivos de una secuencia que los matemáticos (por esta misma razón) llaman serie armónica:

es una suma teóricamente infinita. La relación de oscilaciones de la octava se puede escribir como 2:4 y poner una quinta entre ellas: 2:3:4, es decir, dividiremos la octava en una quinta y una cuarta. Esto se llama división de segmentos armónicos en matemáticas:

Arroz. 1. Para un músico: dividir la octava AB en la quinta AC.Para matemáticos: segmentación armónica

¿Qué quiero decir cuando hablo (arriba) de una suma teóricamente infinita, como la serie armónica? Resulta que tal suma puede ser cualquier número grande, lo principal es que sumamos durante mucho tiempo. Cada vez hay menos ingredientes, pero cada vez hay más. ¿Qué prevalece? Aquí entramos en el reino del análisis matemático. Resulta que los ingredientes se agotan, pero no muy rápido. Mostraré que tomando suficientes ingredientes, puedo resumir:

arbitrariamente grande. Tomemos "por ejemplo" n = 1024. Agrupemos las palabras como se muestra en la figura:

En cada paréntesis, cada palabra es mayor que la anterior, excepto, por supuesto, la última, que es igual a sí misma. En los siguientes paréntesis tenemos 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 y 512 componentes; el valor de la suma en cada paréntesis es mayor que ½. Todo esto es más de 5½. Cálculos más precisos mostrarían que esta cantidad es de aproximadamente 7,50918. No mucho, pero siempre, y puedes ver que tomando cualquier número grande, puedo superar cualquier número. Este es increíblemente lento (por ejemplo, superamos los diez solo con ingredientes), pero el crecimiento infinito siempre ha fascinado a los matemáticos.

Viaje al infinito con la serie armónica

Aquí hay un rompecabezas para algunas matemáticas bastante serias. Tenemos un suministro ilimitado de bloques rectangulares (¡qué puedo decir, rectangulares!) con dimensiones, digamos, 4 × 2 × 1. Considere un sistema que consta de varios (en higo. 2 - cuatro) bloques, dispuestos de manera que el primero esté inclinado la mitad de su longitud, el segundo desde arriba ¼ y así sucesivamente, el tercero una sexta parte. Bueno, tal vez para hacerlo realmente estable, inclinemos un poco menos el primer ladrillo. No importa para los cálculos.

Arroz. 2. Determinación del centro de gravedad

También es fácil entender que como la figura compuesta por los primeros dos bloques (contando desde arriba) tiene un centro de simetría en el punto B, entonces B es el centro de gravedad. Definamos geométricamente el centro de gravedad del sistema, compuesto por los tres bloques superiores. Un argumento muy simple es suficiente aquí. Dividamos mentalmente la composición de tres bloques en dos superiores y un tercero inferior. Este centro debe estar en la sección que conecta los centros de gravedad de las dos partes. ¿En qué momento de este episodio?

Hay dos formas de designar. En el primero, usaremos la observación de que este centro debe estar en el medio de la pirámide de tres bloques, es decir, en una línea recta que interseca al segundo bloque del medio. En la segunda forma, entendemos que dado que los dos bloques superiores tienen una masa total del doble de la de un solo bloque #3 (superior), el centro de gravedad en esta sección debe estar dos veces más cerca de B que del centro. S del tercer bloque. De manera similar, encontramos el siguiente punto: conectamos el centro encontrado de los tres bloques con el centro S del cuarto bloque. El centro de todo el sistema está en la altura 2 y en el punto que divide el segmento por 1 a 3 (es decir, por ¾ de su longitud).

Los cálculos que realizaremos un poco más conducen al resultado que se muestra en la Fig. Fig. 3. Los centros de gravedad consecutivos se eliminan del borde derecho del bloque inferior mediante:

Así, la proyección del centro de gravedad de la pirámide está siempre dentro de la base. La torre no se derrumbará. Ahora echemos un vistazo a higo. 3 y por un momento, usemos el quinto bloque desde arriba como base (el marcado con el color más brillante). Superior inclinado:

por lo tanto, su borde izquierdo está 1 más lejos que el borde derecho de la base. Aquí está el próximo golpe:

¿Cuál es el columpio más grande? ¡Ya sabemos! ¡No hay más grande! Tomando incluso los bloques más pequeños, puede obtener un voladizo de un kilómetro; desafortunadamente, solo matemáticamente: ¡toda la Tierra no sería suficiente para construir tantos bloques!

Arroz. 3. Agrega más bloques

Ahora los cálculos que dejamos arriba. Calcularemos todas las distancias "horizontalmente" en el eje x, porque eso es todo. El punto A (el centro de gravedad del primer bloque) está a la mitad del borde derecho. El punto B (el centro del sistema de dos bloques) está a 1/2 del borde derecho del segundo bloque. Sea el punto de partida el final del segundo bloque (ahora pasaremos al tercero). Por ejemplo, ¿dónde está el centro de gravedad del bloque único #1? La mitad de la longitud de este bloque, por lo tanto, está a 4/3 + 1/2 = 1/4 de nuestro punto de referencia. ¿Dónde está el punto C? En dos tercios del segmento entre 3/4 y 3/4, es decir, en el punto anterior, cambiamos el punto de referencia al borde derecho del tercer bloque. El centro de gravedad del sistema de tres bloques ahora se elimina del nuevo punto de referencia, y así sucesivamente. Centro de gravedad C_n una torre compuesta de n bloques está a 1/2n del punto de referencia instantáneo, que es el borde derecho del bloque base, es decir, el bloque n desde la parte superior.

Dado que la serie de recíprocos diverge, podemos obtener cualquier variación grande. ¿Podría esto realmente implementarse? Es como una torre de ladrillos sin fin: tarde o temprano se derrumbará por su propio peso. En nuestro esquema, las imprecisiones mínimas en la ubicación de los bloques (y el lento aumento de las sumas parciales de la serie) significa que no llegaremos muy lejos.