Cuadrados de colores y eclipses solares.

El artículo describe mis clases para estudiantes de secundaria, becarios del Fondo Nacional de la Infancia. La fundación busca niños y jóvenes especialmente dotados (desde el grado XNUMX de la escuela primaria hasta la secundaria) y ofrece "becas" a estudiantes seleccionados. Sin embargo, no consisten en absoluto en retirar efectivo, sino en cuidar integralmente el desarrollo del talento, por regla general, durante muchos años. A diferencia de muchos otros proyectos de este tipo, reconocidos científicos, personalidades de la cultura, destacados humanistas y otros sabios, así como algunos políticos, se toman en serio los pupilos de la Fundación.

Las actividades de la Fundación se extienden a todas las disciplinas que son materias escolares básicas, excepto al deporte, incluido el arte. El fondo fue creado en 1983 como antídoto a la realidad de entonces. Cualquiera puede postularse al fondo (generalmente a través de una escuela, preferiblemente antes del final del año escolar), pero, por supuesto, hay un cierto tamiz, un cierto procedimiento de calificación.

Como ya mencioné, el artículo se basa en mis clases magistrales, específicamente en Gdynia, en marzo de 2016, en la escuela secundaria 24 de la escuela secundaria III. Armada. Durante muchos años, estos seminarios han sido organizados bajo los auspicios de la Fundación por Wojciech Thomalczyk, un maestro de extraordinario carisma y alto nivel intelectual. En 2008, entró en el top ten de Polonia, que recibió el título de Profesor de Pedagogía (previsto por ley hace muchos años). Hay una ligera exageración en la afirmación: “La educación es el eje del mundo”.

y la luna son siempre fascinantes - entonces puedes sentir que vivimos en un planeta diminuto en un espacio enorme, donde todo está en movimiento, medido en centímetros y segundos. Incluso me asusta un poco, también la perspectiva del tiempo. Nos enteramos de que el próximo eclipse total, visible desde el área de la actual Varsovia, será en... 2681. Me pregunto quién lo verá. Los tamaños aparentes del Sol y la Luna en nuestro cielo son casi iguales, por eso los eclipses son tan cortos y tan espectaculares. Durante siglos, esos breves minutos deberían ser suficientes para que los astrónomos vieran la corona solar. Es extraño que sucedan dos veces al año... pero eso solo significa que en algún lugar de la Tierra se pueden ver por un corto período de tiempo. Como resultado de los movimientos de las mareas, la Luna se está alejando de la Tierra; en 260 millones de años estará tan lejos que nosotros (¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿) por eclipses anulares.

Al parecer, el primero en predecir eclipse, fue Tales de Mileto (siglos 28-585 a. C.). Probablemente no sabremos si realmente sucedió, es decir, si lo predijo, porque el hecho de que el eclipse en Asia Menor se produjera el 567 de mayo de 566 a. C. es un hecho confirmado por los cálculos modernos. Por supuesto, cito datos para la cuenta del tiempo de hoy. Cuando era niño, me imaginaba cómo la gente contaba los años. Entonces esto es, por ejemplo, XNUMX a. C., se acerca la víspera de Año Nuevo y la gente se regocija: ¡solo XNUMX años a. C.! ¡Qué felices deben haber estado cuando finalmente llegó “nuestra era”! ¡Qué cambio de milenio el que vivimos hace unos años!

Las matemáticas de calcular fechas y rangos eclipses, no es especialmente complicado, pero está repleto de todo tipo de factores asociados con la regularidad y, lo que es peor, con el movimiento desigual del cuerpo en las órbitas. Incluso me gustaría saber esto de las matemáticas. ¿Cómo podría Tales de Mileto hacer los cálculos necesarios? La respuesta es simple. Debes tener un mapa del cielo. ¿Cómo hacer un mapa así? Esto tampoco es difícil, los antiguos egipcios sabían cómo hacerlo. A medianoche, dos sacerdotes salen al techo del templo. Cada uno se sienta y dibuja lo que ve (como su colega). Después de dos mil años, sabemos todo sobre el movimiento de los planetas...

Hermosa geometría o diversión en la "alfombra"

A los griegos no les gustaban los números, recurrieron a la geometría. Esto es lo que haremos. Nuestro eclipse serán simples, coloridos, pero igual de interesantes y reales. Aceptamos la convención de que la figura azul se mueve de tal manera que eclipsa a la roja. Llamemos luna a la figura azul y sol a la figura roja. Nos hacemos las siguientes preguntas:

1. cuánto dura un eclipse;
2. cuando se cubre la mitad del blanco;

   Arroz. 1 "alfombra" multicolor con el sol y la luna

3. cuál es la cobertura máxima;
4. ¿Es posible analizar la dependencia de la cobertura del escudo en el tiempo? En este artículo (estoy limitado por la cantidad de texto) me centraré en la segunda pregunta. Detrás de esto hay una bonita geometría, quizás sin cálculos aburridos. Veamos la fig. 1. ¿Se puede suponer que estará asociado con... un eclipse solar?

Debo decir honestamente que las tareas que discutiré serán especialmente seleccionadas, adaptadas a los conocimientos y habilidades de los estudiantes de secundaria y preparatoria. Pero nos entrenamos en tareas como los músicos tocan escalas y los atletas hacen ejercicios generales de desarrollo. Además, ¿no es solo una hermosa alfombra (fig. 1)?

Arroz. 2 Luna "Azul" y Sol "Rojo"

Nuestros cuerpos celestes, al menos inicialmente, serán cuadrados de colores. La luna es azul, el sol es rojo (lo mejor para colorear). con el presente eclipse La luna persigue al sol por el cielo, lo alcanza... y lo cierra. Será lo mismo con nosotros. El caso más simple, cuando la Luna se mueve en relación con el Sol, como se muestra en la Fig. 2. Un eclipse comienza cuando el borde del disco de la Luna toca el borde del disco del Sol (Fig. 2) y termina cuando va más allá.

Arroz. 3 La luna se acerca al sol en diagonal

Suponemos que la "Luna" se mueve una celda por unidad de tiempo, por ejemplo, por minuto. El eclipse dura entonces ocho unidades de tiempo, digamos minutos. Medio eclipses solares completamente atenuado La mitad de la esfera se cierra dos veces: después de 2 y 6 minutos. El gráfico de porcentaje de oscurecimiento es simple. Durante los dos primeros minutos, el escudo se cierra uniformemente a una velocidad de cero a 1, los dos minutos siguientes se expone a la misma velocidad.

Aquí hay un ejemplo más interesante (Fig. 3). La luna se acerca al sol en diagonal. Según nuestro acuerdo de pago por minuto, el eclipse dura 8√2 minutos - en medio de este tiempo tenemos un eclipse total. Calculemos qué parte del sol está cubierta después del tiempo t (Fig. 3). Si han pasado t minutos desde el comienzo del eclipse, y como resultado la Luna está como se muestra en la Fig. 5, entonces (¡atención!) Por lo tanto, se cubre (el área del cuadrado APQR), igual a la mitad del disco solar, por lo tanto, se cubrió cuando, es decir, después de 4 minutos (luego 4 minutos antes del final del eclipse).

Arroz. 4 Gráfico de la función "shading"

Totalidad dura un momento (t = 4√2), y la gráfica de la función "parte sombreada" consta de dos arcos de parábolas (Fig. 4).

Nuestra luna azul tocará la esquina con el sol rojo, pero lo cubrirá, yendo no en diagonal, sino ligeramente en diagonal Aparece una geometría interesante cuando complicamos un poco el movimiento (Fig. 6). La dirección del movimiento ahora es el vector [4,3], es decir, "cuatro celdas a la derecha, tres celdas hacia arriba". La posición del Sol es tal que el eclipse comienza (posición A) cuando los lados de los "cuerpos celestes" convergen a un cuarto de su longitud. Cuando la Luna se mueva a la posición B, eclipsará una sexta parte del Sol, y en la posición C eclipsará la mitad. En la posición D, tenemos un eclipse total, y luego todo vuelve a "como era".

Arroz. 5 Parte del Sol oculta durante el tiempo t

El eclipse termina cuando la Luna está en la posición G. Duró tanto como longitud de sección AG. Si, como antes, tomamos como unidad de tiempo el tiempo durante el cual la Luna pasa "un cuadrado", entonces la longitud del AG es igual. Si volviéramos a la vieja convención de que nuestros cuerpos celestes son 4 por 4, el resultado sería diferente (¿qué?). Como es fácil de mostrar, el objetivo se cierra después de t < 15. El gráfico de la función "porcentaje de cobertura de pantalla" se puede ver en la fig. 6.

Arroz. 6 Gráfico de la función "porcentaje de protección"

Eclipse y ecuación de salto

Arroz. 7 Obstrucción del disco solar durante el eclipse que se muestra en la fig. 6

El problema de los eclipses estaría incompleto si no consideráramos el caso de los círculos. Esto es mucho más complicado, pero tratemos de averiguar cuándo un círculo eclipsa la mitad del otro, y en el caso más simple, cuándo uno de ellos se mueve a lo largo del diámetro que los conecta a ambos. El dibujo es familiar para los titulares de alguna tarjeta de crédito.

Calcular la posición de los campos es complicado, ya que requiere, en primer lugar, el conocimiento de la fórmula del área de un segmento circular, en segundo lugar, el conocimiento del arco del ángulo, y en tercer lugar (y lo peor de todo), la habilidad para resolver una determinada ecuación de salto. No explicaré qué es una "ecuación transitiva", veamos un ejemplo (Fig. 8).

Arroz. 8 eclipse "esférico"

Una sección circular es el "cuenco" que queda después de cortar un círculo con una línea recta. El área de tal segmento es S = 1/2r²(φ-sinφ), donde r es el radio del círculo y φ es el ángulo central sobre el que descansa el segmento (Fig. 8). Esto se obtiene fácilmente restando el área del triángulo al área del sector circular.

Episodio O₁O₂ (la distancia entre los centros de los círculos) es entonces igual a 2rcosφ/2, y la altura (ancho, “cintura”) h = 2rsinφ/2. Entonces, si queremos calcular cuándo la Luna cubrirá la mitad del disco solar, debemos resolver la ecuación: que, después de la simplificación, se convierte en:

Arroz. 9 Gráficas de dos funciones

La solución de tales ecuaciones va más allá del álgebra simple: la ecuación contiene tanto ángulos como sus funciones trigonométricas. La ecuación está más allá del alcance de los métodos tradicionales. por eso se llama saltar. Primero veamos las gráficas de ambas funciones, es decir, funciones y funciones, podemos leer una solución aproximada de esta figura. Sin embargo, podemos obtener una aproximación iterativa o… usar la opción Solver en la hoja de cálculo de Excel. Todo estudiante de secundaria debería poder hacer esto, porque estamos en el siglo XX. Usé una herramienta Mathematica más sofisticada y aquí está nuestra solución con 20 decimales de precisión innecesaria:

EstablecerPrecisión[EncontrarRaíz[x==Sen[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

Arroz. 10 Animación de eclipse en matematica

Convertimos esto en grados al multiplicar por 180/π. Obtenemos 132 grados, 20 minutos, 45 y un cuarto de segundo de arco. Calculamos que la distancia al centro del círculo es O₁O₂ = 0,808 radio, y "cintura" 2,310.