Adivina, adivina en qué mano está el balón de oro.
En la era pre-Covid (oh, ¿cuándo fue eso?) Una vez me pidieron que participara en la "escuela verde". Además del descanso adecuado, la reunión se dedicó a las matemáticas, concretamente a la esfera y sus propiedades. Este tema generalmente se omite en la escuela porque... bueno, no sé por qué.
Después de eso, incluso los estudiantes de geología no saben qué es la longitud (lo real me sucedió a mí: di una conferencia en el departamento correspondiente de la universidad). La reunión fue sumamente exitosa, aplausos a la dirección ya los tres maestros que organizaron todo. Enseñar no se trata solo de transferir conocimientos en incrementos de 45 minutos de 8 a. m. a XNUMX p. m. o XNUMX p. m. Bueno, ahora todo es diferente con el aprendizaje a distancia. Cada vez más maestros están discutiendo cómo cambiar el sistema de aula tradicional a... ¿y qué? Recuerde que estamos experimentando con un "organismo vivo": los niños. ¿Dónde está la bola de oro que contiene la sabiduría de la vida?
Estoy revisando solicitudes de estudiantes para una beca del Fondo Nacional de la Infancia para niños excepcionalmente dotados. Siempre había bastantes mensajes de Leszno. Estaban en ese año, pero uno de cada dos niños (un estudiante de los grados inferiores) escribió: "Desde que mi maestra, la Sra. I., se fue, he perdido el interés por las matemáticas". Sin embargo, hubo muchas solicitudes de Lublin, que hasta ahora se han presentado poco. Un acertijo para los lectores: ¿a qué ciudad se mudó la Sra. I. de Leshno? ¿A Lublin? Sí, pero ¿cómo se les ocurrió, lectores?
La superficie de una esfera es una esfera. (del latín esfera 'bola, cielo'). Este término matemático ha entrado en el lenguaje coloquial: estamos hablando de las esferas de influencia de las grandes potencias, la esfera de los intereses y las esferas sociales. —Oh, ella no es de nuestra esfera —dijo la condesa a esta hermosa campesina de quien se había enamorado el joven señor—. Y luego todos imaginaban la sociedad como caparazones concéntricos, impenetrables entre sí: por un lado, estamos en la mejor compañía, por supuesto, por el otro, esta pobre niña y hasta la geometría dice "¡Cenicienta: quédate donde estás!".
No es difícil estar fascinado por la forma esférica. Basta con estar al aire libre por la noche, lejos de las ciudades, preferiblemente en una montaña alta en invierno. Miremos hacia arriba: ¿no vemos claramente la esfera celeste? Estrellas distantes se unen a él, contra su fondo cuerpos celestes errantes se mueven a lo largo de esferas más cercanas: planetas. Ptolomeo enseñó que la Tierra es el centro del universo y está rodeada por nueve esferas de cristal concéntricas.
En los primeros siete hay siete planetas conocidos: Diana (= Luna), Mercurio, Venus, Apolo (= Sol), Marte, Júpiter y Saturno. La octava esfera contenía las estrellas fijas. Las nueve eran como una manivela que regulaba el movimiento del reloj: el equinoccio de primavera se movía a lo largo de ellas. En la Edad Media, se añadió a este sistema una décima esfera: el Primer Motor, como un resorte, todo en movimiento, una fuerza motriz, una coraza dura que separa el mundo de la no existencia. Los pitagóricos creían en la armonía de las esferas: que los planetas que se mueven a través de sus esferas emiten sonidos extremadamente agradables. Después de todo, el mundo es un número y música.
En la Olimpiada de Matemática para escolares, que organizamos en la mencionada escuela verde, la competencia fue feroz dos equipos. Bueno, uno ganó (33:31), el otro perdió. Como en el deporte.
El algoritmo para dividir a los titulares en dos equipos es tan interesante desde un punto de vista matemático que me detendré en él en detalle. El problema aquí, por supuesto, es la calificación equitativa de equipos fuertes y débiles. Pero, ¿qué es estable? Aparentemente, la mejor elección es aleatoria: cada jugador toma una hoja de papel con las palabras 1 o 2 de la caja y va al equipo apropiado. Pero... si lanzas una moneda 10 veces, solo el 25 por ciento de las veces el resultado será 5:5, que es cinco caras y cinco caras. Entonces, vemos que con un 75 por ciento de probabilidad los equipos serán desiguales.
Hay una manera flagrantemente injusta en la que dos previamente nombrados los capitanes eligen a los miembros de su equipo uno tras otro: una vez tú, luego yo. El primer capitán siempre tiene la ventaja, puede elegir al mejor del resto. Del mismo modo, en el fútbol, el ganador de un partido de copa se determina desde un punto de penalti. Un equipo siempre dispara primero. Las cosas van mejor en el tenis donde el servidor siempre está en la mejor posición. En un juego de desempate, después del primer servicio de A, el segundo sirve dos veces, luego A dos veces y luego dos servicios, alternando B, A, ... con una ventaja de dos puntos ganadores.
Este método tampoco es muy adecuado para seleccionar dos equipos de estudiantes. El método que describiré fue creado por matemáticos sobre una idea tomada del llamado algoritmo de Steinhaus. Se usa comúnmente en partidos de matemáticas, como los preliminares preolímpicos. Curiosamente, usamos un sistema muy similar en mi patio trasero cuando queríamos "jugar al fútbol" en la plaza vacía detrás de la casa. Había muchos chicos (yo vengo de la primera ola del baby boom de la posguerra).
El algoritmo es así. La moneda decide cuál de los capitanes (A o B) será elegido primero. Que sea A. Señala al jugador, y ahora (¡atención!) el Capitán B decide si este jugador irá al primer o segundo equipo. Y así alternativamente. Uno selecciona al jugador, el otro lo nombra. El segundo indica que el primero destaca.
Tenga en cuenta las dificultades psicológicas. Si el capitán A elige el mejor, B lo agregará inmediatamente a su equipo. Si señala al más débil, B dirá: “muy bien, llévatelo”… pero al rato se invertirán los papeles. Entonces, ¿cómo juegas?
Una cierta cantidad de ingeniería social y psicología social ayuda aquí. Especialmente cuando los jóvenes están involucrados en la selección, los gustos y disgustos son muy importantes, y no solo un "nivel" indefinido. En particular, después de seleccionar a cualquiera de los jugadores como capitán A, el capitán B evalúa si dicho compañero (amigo indicado) está subjetivamente en la mitad superior o inferior de los participantes. ¿Lo quiero o lo dejo ir a A? tengo una opción Si veo el miembro especificado en la mitad superior, lo acepto, y si veo el miembro especificado en la mitad inferior, lo dejo. El rol está cambiando, ahora califican las puntuaciones B y A. Él hace lo mismo. Si evalúa bien a la persona indicada, entonces lo toma personalmente, si se equivoca, se va. De esta manera, cada capitán mejora (¡o al menos igual!) cada vez. Todos piensan que hizo la mejor elección, que su equipo es mejor. Las matemáticas pueden complacer a la gente incluso en asuntos tan delicados.
Fue con tales preguntas que los concursantes de mi escuela verde pelearon. Como puede ver, hay algunas preguntas. no matemático, desafiante y divertido.
- ¿Qué es loxódromo?
- Tienes 20 bolas. ¿Cuál es la altura del tetraedro que se puede formar con ellos? ¿Cuántas bolas necesitas para un tetraedro de 10 capas?
- Salí de la tienda. Caminé un kilómetro al oeste, luego un kilómetro al norte, luego un kilómetro al sur. Así es como terminé en mi tienda. Un oso se sentó frente a él. ¿De qué color era?
- ¿Cuántas bolas de diámetro 1 caben en una bola de diámetro 2?
- Ordene de la pelota más pequeña a la más grande utilizada en los siguientes deportes: tenis, tenis de mesa, fútbol, voleibol, baloncesto, waterpolo.
- ¿Qué pelota no es esférica ni ovalada (como en el rugby o el fútbol americano)?
- Lista de proverbios y refranes relacionados con la pelota.
- Invente un chiste que comience con las palabras "Una bala vuela hacia el médico".
- Una esfera está inscrita en un cubo de 1 metro de lado. ¿Hay suficiente espacio para una pelota de 20 cm en la esquina?
- ¿Puede un cubo con un lado de 1 pulgada caber en una esfera con un radio de 1 centímetro?
- Como saben, en el pasado, las balas de cañón eran de hecho esféricas. Hoy no lo son. ¿Qué te hizo cambiar la forma de los cohetes?
- El volumen de la esfera es p2 centímetros cúbicos. Calcula su superficie.
- Este es un círculo con un radio
puede estar en una esfera de radio
- El contenedor B contiene 100 bolas blancas, el contenedor C contiene 100 bolas negras. Seleccionamos aleatoriamente 10 bolas del contenedor B y las dejamos caer en C. De las 110 bolas actualmente en C, seleccionamos aleatoriamente 10 y las dejamos caer en B. ¿Hay más bolas negras en B o bolas blancas en C?
- ¿Qué forma puede tener la sombra de la pelota?
- ¿Qué paralelo en la Tierra es la mitad de la longitud del ecuador?
- El planeta T está uniformemente cubierto de hierba. En algún punto del planeta, se ata una cabra. ¿Qué longitud debe tener la cadena para que la cabra alcance exactamente la mitad de la hierba del planeta?
- En el poema, Pan Tadeusz Stolnik recibió un disparo. ¿De quién fusil fue alcanzado por una bala?
- ¿Cuántas palabras de cuatro letras (significativas o no) se pueden formar reorganizando las letras de la palabra KULA?
- ¿Hay una pelota que toca todas las aristas del cubo? Si es así, calcula su radio. Si no, justifique.
Comentarios. Propongo averiguar (¿de qué Internet?) qué es Loxodrome.
La tarea 2 es bastante difícil. Veinte bolas idénticas se pueden convertir en un tetraedro 10 + 6 + 3 + 1 (diez bolas en la parte inferior, luego seis, tres y una). Tal bloque tiene cuatro capas, pero tiene menos de cuatro veces el diámetro de cada esfera: las bolas caen en los huecos del piso inferior.
Sin embargo, discutiré este desafío... no decidiré. Eso se lo dejo al lector dispuesto. Me refiero, entre otros, a mi amigo Kazimierz de Szczecin. Kaziu - definitivamente te gustará. Después de todo, asociamos la tarea con la escuela. Este es el grupo que vemos en la foto. Estas naranjas estaban buenísimas... Cualquier vendedor sabe que lo mejor es poner manzanas, naranjas, limones y otras frutas duras como esta (los tomates se pueden desmoronar). Bueno, fue solo a fines del siglo pasado que se resolvió el problema planteado por Johannes Kepler en 1610, a saber, cómo demostrar matemáticamente que esta es realmente la mejor manera. Más precisamente, las esferas iguales ocupan el lugar más pequeño en el espacio con este arreglo. Esto es poco menos del 75 por ciento. Este es un problema matemático emocionante porque ocurre en espacios grandes, pero ese es nuevamente un tema para otro artículo.
La escuela a la que fui, bueno, hace bastante tiempo, todavía tenía once años. En el penúltimo, décimo grado, todo el año era principalmente geometría y trigonometría. Recuerdo el conjunto de problemas de Henryk Paśniewski: ¿qué no había? Tetraedros, prismas y pirámides se recortan de todas las formas posibles. Oh, sí, las muletas eran pocas. Porque es difícil, incluso dibujar no es fácil.
Desde entonces, la trigonometría en la escuela ha estado muy truncada, degenerada. Como cualquier anciano, suelo recordar que todo “entonces” era mejor. Esto, por supuesto, no es cierto. No todo. La trigonometría ya no es tan necesaria en el trabajo diario de un ingeniero y topógrafo. Ya no se necesitan torres de triangulación de madera en los picos de las montañas. Uno de los edificios más grandes estaba ubicado en Lyuban en la calle Kroshchenko. Incluso tenía un nombre de montaña "patria". Bien, basta de estas digresiones. Miremos la imagen. Primero, determinamos la longitud del segmento s. Es un ángulo de 60 grados. De AC encontramos BC, luego la altura BH. Pero esta es la altura de la pared lateral de nuestra pirámide naranja. A partir de aquí, la altura de la pirámide se obtiene multiplicando el HV por el seno del ángulo de inclinación del muro a la base, que... también hay que calcularlo, pero esto es fácil y estándar.
¿Puedo decir eso?problema resuelto". Desafortunadamente, asocio esto con el aprendizaje a distancia cada vez más extendido. Me siento frente a la pantalla y "hablo con la imagen", y los alumnos, porque les enseño, tienen que trabajar de acuerdo con mis instrucciones. De todos modos, así fue como aprendí Microsoft Teams, Inspery y otros dispositivos para realizar este tipo de clases. El instructor estaba en casa, yo estaba en casa, todos estaban tomando su café, él estaba "hablando con la imagen" y yo estaba tratando de imitar.
→ En la escuela donde enseño ya saben que aunque “vuelva la normalidad”, las clases seguirán con el mismo espíritu. Este formulario tiene muchas ventajas. Este es un tema para otro artículo. Esto lo hace aún mejor para aquellos que... quieren aprender.
→ Desafortunadamente, no hay tantos como nos parece a nosotros, maestros. Llegué tarde para enviar este artículo al editor, pero si estás leyendo esto, entonces terminó bien. Es decir, estaba frustrado por el comportamiento de los estudiantes de primer año, a quienes les di demasiada libertad durante el examen. Sacaré conclusiones y volverán los métodos “policiales”. Y mi estado de ánimo hizo que, en lugar de terminar el texto, diera un largo paseo por los campos nevados cerca de Varsovia. Hacía frío, yo tenía frío...
→ Volvamos a la competición con balón. La pregunta 6 se puede responder con una sierra para metales o una pelota de ping-pong aplastada. El mejor chiste (tarea 8) fue aquel en el que la bala se queja al médico: "No sé qué me pasa, pero estoy completamente confundido". También hubo uno bueno, en el que la bala se quejaba de dolores radiantes y que reventaba de diámetro. El proverbio asociado con la pelota (tarea 7) se coloca en el título del artículo, también sabemos qué es la pelota en los pies (esto es la Tierra, ¿no?). La tarea de color de oso tiene una barba larga (por supuesto, el oso era blanco, porque esa ruta solo es posible en las regiones polares).
Las balas de cañón (problema 11) ya no son esféricas porque podemos hacer barriles roscados, lo que le da movimiento de rotación al proyectil.
Resultó interesante la pregunta 13. Más tarde incluso se las di a los estudiantes. Intentaron hacer cálculos poco sensatos, se horrorizaron con el elemento del 17. Mientras tanto, la tarea es trivial. Una esfera con un radio dado es pequeña, mientras que un círculo es grande. No encajará. A la pregunta 18, la respuesta correcta era: un moscovita cuyo rifle Jacek Soplica le arrebató. Los estudiantes respondieron incorrectamente: Jacek.
Volveré a la esfera, porque me atrae mucho. Y la prueba es la siguiente “oda a lo esférico”.
Kulo! ¡Tu eres mi! grande o pequeño
Eres el mismo al final.
Quiero cantar toda tu belleza hoy.
Puedo hacer ecuaciones. ¡Pero escribiré una oda!
Cuanto apreciar, solo el lo sabra
quien te vio Pero tu belleza en toda su decoración
¡Aquellos que estudiaron en la escuela verde en Slavkov lo apreciarán!
¡Tu belleza se extiende desde el centro hasta los bordes!
Todos se sienten igualmente atraídos por su geometría.
Yo soy de niño chiquito, de preescolar,
Siempre he querido entender por qué eres así.
Qué dolorosas sonaron estas paternales palabras:
“Lo sabrás cuando crezcas. ¡Hoy eres demasiado pequeño!
Cuando yo era un niño y un niño inocente
Cuatro tercios querían saber tu secreto
Y cuán profundo el corazón era profundo
Cuando quise tu plaza secreta de cuatro pisos.
Me tragué mucha juventud fugaz
Integrando tus rondas básicas en el pensamiento,
Y cuando el rostro del joven estaba cubierto de barba,
Vi un triángulo con tres ángulos rectos
Ella tiene. E inmediatamente pude descifrar lo hermosa que es.
La geometría de la superficie es elíptica.
Y cómo el joven fue influenciado por Oscom,
Cuando finalmente me mostró su rumbo
¿Qué es cada meridiano?
En el mismo ángulo de corte ... y se deduce que
Que la longitud de la curva crece hasta el infinito,
Y que ambos polos se entrelazan con el amor.
Más tarde, observando tu tensor de Riemann
Calculé las áreas de los campos hasta la mañana.
y en tu superficie graciosamente llamada esfera,
Las curvas principales nunca llegaban a cero.
Así que mantente fiel a mí, inquebrantable, homogéneo,
Igual de lindo y divertido en todos los sentidos.
¡Deje siempre solo secciones redondas!
Más de una vez mi corazón te añorará.
Que los jóvenes ahora, sin saber canas,
Estudian tus curvas, desconocidas para Gauss.
