Viaje al mundo irreal de las matemáticas

Escribí este artículo el miércoles, después de una conferencia y práctica en una facultad de informática. Me defiendo de las críticas a los alumnos de esta escuela, su conocimiento, actitud hacia la ciencia y lo más importante: habilidades didácticas. Esto... nadie les enseña.

¿Por qué estoy tan a la defensiva? Por una simple razón: estoy en una edad en la que, probablemente, el mundo que nos rodea aún no se comprende. ¿Quizás les estoy enseñando a enjaezar y desarmar caballos, y no a conducir un automóvil? ¿Quizás les enseñe a escribir con una pluma? Aunque tengo una mejor opinión de una persona, me considero “siguiendo”, pero…

Hasta hace poco, en la secundaria, hablaban de números complejos. Y fue este miércoles que llegué a casa, renuncié: casi ninguno de los estudiantes ha aprendido aún qué es y cómo usar estos números. Algunos miran todas las matemáticas como un ganso en una puerta pintada. Pero también me sorprendió genuinamente cuando me dijeron cómo aprender. En pocas palabras, cada hora de una conferencia son dos horas de tarea: leer un libro de texto, aprender a resolver problemas sobre un tema determinado, etc. Habiéndonos preparado de esta manera, llegamos a los ejercicios, donde mejoramos todo ... Agradablemente, los estudiantes, aparentemente, pensaron que sentarse en la conferencia, la mayoría de las veces mirando por la ventana, ya garantiza la entrada del conocimiento en la cabeza.

¡Detener! Basta de esto. Describiré mi respuesta a una pregunta que recibí durante una clase con becarios del Fondo Nacional de la Infancia, una institución que apoya a niños talentosos de todo el país. La pregunta (o más bien la sugerencia) era:

— ¿Podrías contarnos algo sobre los números irreales?

“Por supuesto”, respondí. 

La realidad de los números.

“Un amigo es otro yo, la amistad es la proporción de los números 220 y 284”, dijo Pitágoras. El punto aquí es que la suma de los divisores del número 220 es 284, y la suma de los divisores del número 284 es 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Otra coincidencia interesante entre los números 220 y 284 es esta: los diecisiete números primos más altos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, y 59.

Su suma es 2x220 y la suma de los cuadrados es 59x284.

Primero. No existe el concepto de "número real". Es como después de leer un artículo sobre elefantes y preguntas: "Ahora vamos a preguntar por los que no son elefantes". Los hay completos y no completos, racionales e irracionales, pero no irreales. Específicamente: los números que no son reales no se llaman inválidos. Hay muchos tipos de "números" en matemáticas, y difieren entre sí, como, para hacer una comparación zoológica, un elefante y una lombriz de tierra.

En segundo lugar, realizaremos operaciones que quizás ya sepas que están prohibidas: sacar raíces cuadradas de números negativos. Bueno, las matemáticas superarán tales barreras. ¿Tiene sentido? En matemáticas, como en cualquier otra ciencia, que una teoría entre para siempre en el repositorio del conocimiento depende... de su aplicación. Si es inútil, entonces termina en la basura, luego en alguna basura de la historia del conocimiento. Sin los números de los que hablo al final de este artículo, es imposible desarrollar las matemáticas. Pero empecemos con algunas cosas pequeñas. ¿Qué son los números reales? Llenan la recta numérica densamente y sin espacios. También sabes qué son los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - todos ellos no caben recuerdo incluso el más grande. También tienen un hermoso nombre: natural. Tienen tantas propiedades interesantes. Como te gusta esto:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

“Es natural estar interesado en los números naturales”, dijo Karl Lindenholm, y Leopold Kronecker (1823–1891) lo expresaron sucintamente: “Dios creó los números naturales, ¡todo lo demás es obra del hombre!”. Las fracciones (llamadas números racionales por los matemáticos) también tienen propiedades sorprendentes:

y en igualdad:

puede, comenzando desde el lado izquierdo, frotar los signos positivos y reemplazarlos con signos de multiplicación, y la igualdad seguirá siendo cierta:

Y así sucesivamente.

Como sabes, para las fracciones a/b, donde a y b son números enteros, y b ≠ 0, dicen número racional. Pero solo en polaco se llaman así. Hablan inglés, francés, alemán y ruso. número racional. En inglés: números racionales. Numeros irracionales es irracional, irracional. También hablamos polaco sobre teorías, ideas y hechos irracionales: esto es una locura, imaginario, inexplicable. Dicen que las mujeres le tienen miedo a los ratones, ¿no es tan irracional?

En la antigüedad, los números tenían alma. Cada uno significaba algo, cada uno simbolizaba algo, cada uno reflejaba una partícula de esa armonía del Universo, es decir, en griego, el Cosmos. La misma palabra "cosmos" significa exactamente "orden, orden". Los más importantes eran el seis (el número perfecto) y el diez, la suma de los números consecutivos 1+2+3+4, formado por otros números cuyo simbolismo ha llegado hasta nuestros días. Entonces Pitágoras enseñó que los números son el principio y la fuente de todo, y solo el descubrimiento Numeros irracionales orientó el movimiento pitagórico hacia la geometría. Conocemos el razonamiento de la escuela que

√2 es un número irracional

Pues supongamos que hay: y que esta fracción no se puede reducir. En particular, tanto p como q son impares. Elevamos al cuadrado: 2q²=p². El número p no puede ser impar, ya que entonces p² también sería, y el lado izquierdo de la igualdad es un múltiplo de 2. Por lo tanto, p es par, es decir, p = 2r, por lo tanto, p²= 4r². Reducimos la ecuación 2q²= 4r² por 2. Obtenemos q²= 2r² y vemos que q también debe ser par, lo que suponíamos que no es así. La contradicción resultante completa la prueba. - esta fórmula a menudo se puede encontrar en todos los libros de matemáticas. Esta prueba circunstancial es un truco favorito de los sofistas.

Esta inmensidad no pudo ser comprendida por los pitagóricos. Todo debe poder ser descrito por números, y la diagonal de un cuadrado, que cualquiera puede dibujar con un palo sobre la arena, no tiene longitud, es decir, medible. “Nuestra fe fue en vano”, parecen decir los pitagóricos. ¿Cómo es eso? Es un poco... irracional. La Unión trató de salvarse por métodos sectarios. Cualquiera que se atreva a revelar su existencia. Numeros irracionales, iba a ser castigado con la muerte y, al parecer, la primera sentencia fue ejecutada por el propio maestro.

Pero "el pensamiento pasó ileso". La edad de oro ha llegado. Los griegos derrotaron a los persas (Maratón 490, Bloque 479). Se fortaleció la democracia, surgieron nuevos centros de pensamiento filosófico y nuevas escuelas. Los pitagóricos todavía luchaban con los números irracionales. Algunos predicaban: no comprenderemos este misterio; solo podemos contemplar y maravillarnos con Uncharted. Estos últimos eran más pragmáticos y no respetaban el Misterio. En ese momento aparecieron dos construcciones mentales que permitieron comprender los números irracionales. El hecho de que los entendamos lo suficientemente bien hoy pertenece a Eudoxo (siglo V a. C.), y fue solo a fines del siglo XIX cuando el matemático alemán Richard Dedekind le dio a la teoría de Eudoxo el desarrollo adecuado de acuerdo con los requisitos de riguroso. lógica matemática.

Misa de figuras o tortura

¿Podrías vivir sin números? Aunque lo que sería la vida... Tendríamos que ir a la tienda a comprar unos zapatos con un palito, que previamente medimos el largo del pie. “Quisiera manzanas, ¡ah, aquí está!” – mostraríamos a los vendedores en el mercado. "¿Qué distancia hay de Modlin a Nowy Dwur Mazowiecki"? "¡Muy cerca!"

Los números se utilizan para medir. Con su ayuda, también expresamos muchos otros conceptos. Por ejemplo, la escala del mapa muestra cuánto ha disminuido el área del país. Una escala de dos a uno, o simplemente 2, expresa el hecho de que algo se ha duplicado en tamaño. Digamos matemáticamente: cada homogeneidad corresponde a un número, su escala.

Tarea. Hicimos una copia xerográfica, ampliando la imagen varias veces. Luego, el fragmento ampliado se amplió de nuevo b veces. ¿Qué es la escala general de aumentos? Respuesta: a × b multiplicado por b. Estas escalas necesitan ser multiplicadas. El número "menos uno", -1, corresponde a una precisión que está centrada, es decir, girada 180 grados. ¿Qué número corresponde a un giro de 90 grados? No hay tal número. Lo es, lo es… o mejor dicho, lo será pronto. ¿Estás listo para la tortura moral? Anímate y saca la raíz cuadrada de menos uno. ¿Estoy escuchando? ¿Qué no puedes? Después de todo, te dije que fueras valiente. ¡Sáquelo! Oye, bueno, tira, tira... Te ayudaré... Aquí: -1 Ahora que lo tenemos, intentemos usarlo... Por supuesto, ahora podemos extraer las raíces de todos los números negativos, por ejemplo .:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

“Independientemente de la angustia mental que conlleva”. Esto es lo que escribió Girolamo Cardano en 1539, tratando de superar las dificultades mentales asociadas con -como pronto pasó a llamarse- cantidades imaginarias. Consideró estos...

...Tarea. Divida 10 en dos partes cuyo producto sea 40. Recuerdo que del episodio anterior escribió algo así: Ciertamente imposible. Sin embargo, hagamos esto: divida 10 en dos partes iguales, cada una igual a 5. Multiplíquelas, resultó 25. De los 25 resultantes, ahora reste 40, si lo desea, y obtendrá -15. Ahora mira: √-15 sumado y restado de 5 te da el producto de 40. Estos son los números 5-√-15 y 5 + √-15. La verificación del resultado fue realizada por Cardano de la siguiente manera:

“Sin importar el dolor de corazón que conlleva, multiplica 5 + √-15 por 5-√-15. Obtenemos 25 - (-15), que es igual a 25 + 15. Entonces, el producto es 40... Es realmente difícil".

Bueno, ¿cuánto es: (1 + √-1) (1-√-1)? multipliquemos Recuerda que √-1 × √-1 = -1. Genial. Ahora una tarea más difícil: de a + b√-1 a ab√-1. ¿Qué sucedió? Ciertamente, así: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

¿Qué tiene de interesante esto? Por ejemplo, el hecho de que podamos factorizar expresiones que "no sabíamos antes". La fórmula de multiplicación abreviada para²-b² ¿Recuerdas la fórmula de²+b² no lo fue, porque no pudo ser. En el dominio de los números reales, el polinomio²+b² es inevitable Denotemos "nuestra" raíz cuadrada de "menos uno" con la letra i.²= -1. Es un número primo "irreal". Y eso es lo que describe un giro de 90 grados de un avión. ¿Por qué? Después de todo,²= -1, y la combinación de una rotación de 90 grados y otra rotación de 180 grados da una rotación de 45 grados. ¿Qué tipo de rotación se está describiendo? Obviamente un giro de XNUMX grados. ¿Qué significa la -i? Es un poco más complicado:

(-I)² = -i × (-i) = +i² = -1

Entonces -i también describe una rotación de 90 grados, justo en la dirección opuesta a la rotación de i. ¿Cuál queda y cuál es el derecho? Debe hacer una cita. Suponemos que el número i especifica una rotación en una dirección que los matemáticos consideran positiva: en sentido antihorario. El número -i describe la rotación en la dirección en que se mueven los punteros.

Pero, ¿existen números como i y -i? ¡Están! Simplemente les dimos vida. ¿Estoy escuchando? ¿Que solo existen en nuestra cabeza? Bueno, ¿qué esperar? Todos los demás números también existen solo en nuestra mente. Necesitamos ver si nuestros números de recién nacidos sobreviven. Más precisamente, si el diseño es lógico y si serán útiles para algo. Confíe en mi palabra de que todo está en orden y que estos nuevos números son realmente útiles. Números como 3+i, 5-7i, más generalmente: a+bi se llaman números complejos. Te mostré cómo puedes obtenerlos haciendo girar el avión. Se pueden introducir de diferentes formas: como puntos en un plano, como unos polinomios, como una especie de matrices numéricas... y cada vez son iguales: la ecuación x² +1=0 no hay elemento... abracadabra ya está ahí!!!! ¡¡¡Alegrémonos y regocijémonos!!!

fin de gira

Así concluye nuestra primera gira por el país de los números falsos. De los otros números sobrenaturales, también mencionaré aquellos que tienen una infinidad de dígitos delante, y no detrás (se llaman 10-adic, para nosotros son más importantes p-adic, donde p es un número primo), por ejemplo X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Contemos X por favor². ¿Porque? ¿Qué pasa si calculamos el cuadrado de un número seguido de un número infinito de dígitos? Bueno, hagamos lo mismo. sabemos que x² = X.

Busquemos otro número similar con un número infinito de dígitos al frente que satisfaga la ecuación. Pista: el cuadrado de un número que termina en seis también termina en seis. El cuadrado de un número que termina en 76 también termina en 76. El cuadrado de un número que termina en 376 también termina en 376. El cuadrado de un número que termina en 9376 también termina en 9376. El cuadrado de un número que termina en XNUMX el… También hay números que son tan pequeños que, siendo positivos, siguen siendo más pequeños que cualquier otro número positivo. Son tan pequeños que a veces basta con elevarlos al cuadrado para obtener cero. Hay números que no cumplen la condición a × b = b × a. También hay números infinitos. ¿Cuántos números naturales hay? ¿Infinitamente muchos? Si, pero cuanto? ¿Cómo se puede expresar esto como un número? Respuesta: el más pequeño de infinitos números; está marcado con una hermosa letra: A y complementado con un índice cero A₀ , alef-cero.

También hay números que no sabemos que existen... o que puedes creer o no creer como quieras. Y hablando de cosas por el estilo: espero que todavía te gusten Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers.