Modelos simples con comportamiento complejo, es decir, caos.

La computadora es una herramienta cada vez más utilizada por los científicos para descubrir secretos cuidadosamente escondidos por la naturaleza. El modelado, junto con la experimentación y la teoría, se está convirtiendo en la tercera forma de estudiar el mundo.

Hace tres años, en la Universidad de Silesia, iniciamos un programa para integrar métodos informáticos en la educación. Como resultado, se han creado una gran cantidad de materiales didácticos extremadamente emocionantes, que facilitan y profundizan el estudio de muchos temas. Se eligió Python como herramienta principal, que, junto con el poder de las bibliotecas científicas disponibles, es probablemente la mejor solución para "experimentos informáticos" con ecuaciones, imágenes o datos. Una de las implementaciones más interesantes de un banco de trabajo completo es Sage [2]. Se trata de una integración abierta de un sistema de álgebra informática con el lenguaje Python, y además permite empezar a jugar de forma inmediata mediante un navegador web y una de las posibles opciones de acceso a través de un servicio en la nube [3] o un único servidor informático en el que se encuentra el interactivo. La versión de este artículo se basa en [4] .

Caos en ecología

En los primeros años en la Universidad de Oxford, el científico australiano Robert May estudió los aspectos teóricos de la dinámica demográfica. Resumió su trabajo en un artículo que apareció en la revista Nature bajo el provocativo título "Simple Mathematical Models with Very Complex Dynamics" [Modelos matemáticos simples con dinámicas muy complejas]. A lo largo de los años, este artículo se ha convertido en uno de los trabajos más citados en ecología teórica. ¿Qué causó tal interés en este trabajo?

El problema clásico de la dinámica de poblaciones es calcular la población futura de una especie en particular, dado su estado actual. Matemáticamente, se consideró que los ecosistemas eran los más simples en los que la vida de una generación de la población dura una temporada. Un buen ejemplo es una población de insectos que sufren una metamorfosis completa en una temporada, como las mariposas. El tiempo se divide naturalmente en períodos discretos2 correspondientes a los ciclos de vida de la población. Por lo tanto, las ecuaciones que describen tal ecosistema naturalmente tienen el llamado tiempo discreto, es decir t = 1,2,3…. Robert May se ocupó de esa dinámica, entre otras cosas. En su razonamiento, simplificó el ecosistema a una sola especie cuya población era una función cuadrática de la población del año anterior. ¿De dónde salió este modelo?

La ecuación discreta más simple que describe la evolución de una población es un modelo lineal:

donde Ni es la abundancia en la i-ésima temporada, y Ni + 1 describe la población en la siguiente temporada. Es fácil ver que tal ecuación puede conducir a tres escenarios. Cuando a = 1, la evolución no cambiará el tamaño de la población, y <1 conduce a la extinción, y el caso de a > 1 significa un crecimiento ilimitado de la población. Esto conducirá a un desequilibrio en la naturaleza. Dado que todo en la naturaleza es limitado, tiene sentido ajustar esta ecuación para tener en cuenta la cantidad limitada de recursos. Imagina que las plagas comen grano, que todos los años es exactamente lo mismo. Si los insectos son pocos en comparación con la cantidad de alimento que pueden reproducir, pueden reproducirse a pleno rendimiento, determinado matemáticamente por la constante a > 1. Sin embargo, a medida que aumenta el número de plagas, el alimento escaseará y la capacidad reproductiva disminuirá. En un caso crítico, uno puede imaginar que nacen tantos insectos que se comen todo el grano antes de que tengan tiempo de reproducirse, y la población muere. Verhulst propuso por primera vez en 1838 un modelo que tiene en cuenta este efecto del acceso limitado a los alimentos. En este modelo, la tasa de crecimiento no es constante, sino que depende del estado de la población:

La relación entre la tasa de crecimiento a y Ni debería tener la siguiente propiedad: si la población aumenta, la tasa de crecimiento debería disminuir porque el acceso a los alimentos es difícil. Por supuesto, hay muchas funciones con esta propiedad: estas son funciones de arriba hacia abajo. Verhulst propuso la siguiente relación:

donde a>0 y la constante K>0 caracterizan los recursos alimentarios y se denominan capacidad del medio ambiente. ¿Cómo afecta un cambio en K la tasa de crecimiento de la población? Si K aumenta, Ni/K disminuye. A su vez, esto lleva al hecho de que 1-Ni/K crece, lo que significa que crece. Esto significa que la tasa de crecimiento está aumentando y la población está creciendo más rápido. Así que modifiquemos el modelo anterior (1) asumiendo que la tasa de crecimiento cambia como en la ecuación (3). Entonces obtenemos la ecuación

Esta ecuación se puede escribir como una ecuación recursiva

donde xi = Ni / K y xi + 1 = Ni + 1 / K denotan las poblaciones reescaladas en el tiempo i y el tiempo i + 1. La ecuación (5) se denomina ecuación logística.

Puede parecer que con una modificación tan pequeña, nuestro modelo es fácil de analizar. Vamos a ver. Considere la ecuación (5) para el parámetro a = 0.5 a partir de la población inicial x0 = 0.45. Los valores de población secuencial se pueden obtener usando la ecuación recursiva (5):

x₁= hacha₀(1º₀)

x₂= hacha₁(1º₁)

x₃= hacha₂(1º₂)

Para facilitar los cálculos en (6), podemos utilizar el siguiente programa (está escrito en Python y se puede ejecutar, entre otras cosas, en la plataforma Sage. Recomendamos leer el libro http://icse.us.edu .pl/e-book . ), imitando nuestro modelo:

a = 0.5 x = 0.45 para i en rango (10):      x \u1d un * x * (XNUMX-x)      imprimir x

Calculamos valores sucesivos de xi y notamos que tienden a cero. Al experimentar con el código anterior, también es fácil ver que esto es cierto independientemente del valor inicial de x0. Esto significa que la población está muriendo constantemente.

En la segunda etapa del análisis, aumentamos el valor del parámetro a a cualquier valor en el rango ae (1,3). Resulta que entonces la secuencia xi va a una cierta cantidad x * > 0. Interpretando esto desde el punto de vista de la ecología, podemos decir que el tamaño de la población se fija en un cierto nivel, que no cambia de una estación a otra. . Vale la pena señalar que el valor de x * no depende del estado inicial x0. Este es el efecto del esfuerzo del ecosistema por estabilizarse: la población ajusta su tamaño a la capacidad de alimentarse. Matemáticamente se dice que el sistema tiende a un punto fijo estable, es decir satisfaciendo la igualdad x = f(x) (esto significa que en el siguiente momento el estado es el mismo que en el momento anterior). Con Sage, podemos visualizar esta evolución gráficamente trazando la población a lo largo del tiempo.

Los investigadores esperaban tal efecto de estabilización, y la ecuación logística (5) no habría llamado mucho la atención si no fuera por la sorpresa. Resultó que para ciertos valores del parámetro, el modelo (5) se comporta de manera impredecible. Primero, hay estados periódicos y multiperiódicos. En segundo lugar, con cada paso de tiempo, la población cambia de manera desigual, como un movimiento aleatorio. En tercer lugar, existe una gran sensibilidad a las condiciones iniciales: dos estados iniciales casi indistinguibles conducen a una evolución poblacional completamente diferente. Todos estos rasgos son característicos de un comportamiento que se asemeja a un movimiento completamente aleatorio y se denomina caos determinista.

¡Exploremos esta propiedad!

Primero, establezcamos el valor del parámetro a = 3.2 y observemos la evolución. Puede parecer sorprendente que esta vez la población alcance no un valor, sino dos, que se dan consecutivamente cada dos temporadas. Sin embargo, resultó que los problemas no terminaron ahí. Con a = 4, el sistema ya no es predecible. Miremos la figura (2) o generaremos una secuencia de números nosotros mismos usando una computadora. Los resultados parecen ser puramente aleatorios y bastante diferentes para poblaciones iniciales ligeramente diferentes. Sin embargo, el lector atento debe objetar. ¿Cómo puede un sistema descrito por una ecuación determinista1, incluso una muy simple, comportarse de manera impredecible? Bien quizás.

Una característica de este sistema es su notable sensibilidad a las condiciones iniciales. Basta con empezar con dos condiciones iniciales que difieren en una millonésima, y ​​en unos pocos pasos obtendremos valores poblacionales completamente diferentes. Comprobemos en la computadora:

a = 4.0

x = 0.123 y = 0.123 + 0.000001 PCC = [] para i en rango (25): x = a*x*(1-x) tu = un * tu * (1-u) imprimir x, y

Aquí hay un modelo simple de evolución determinista. Pero este determinismo es engañoso, es solo determinismo matemático. Desde un punto de vista práctico, el sistema se comporta de manera impredecible porque nunca podemos establecer las condiciones iniciales matemáticamente con exactitud. De hecho, todo está determinado con cierta precisión: cada instrumento de medida tiene una cierta precisión, y esto puede causar imprevisibilidad práctica en sistemas deterministas que tienen la propiedad del caos. Un ejemplo son los modelos de pronóstico del tiempo, que siempre exhiben una propiedad de caos. Esta es la razón por la que las previsiones meteorológicas a largo plazo son tan malas.

El análisis de los sistemas caóticos es extremadamente difícil. Sin embargo, podemos resolver muchos de los misterios del caos con bastante facilidad con la ayuda de simulaciones por computadora. Dibujemos el llamado diagrama de bifurcación, en el que colocamos los valores del parámetro a a lo largo del eje de abscisas, y los puntos fijos estables del mapeo logístico a lo largo del eje de ordenadas. Obtenemos puntos estables simulando una gran cantidad de sistemas simultáneamente y graficando valores después de muchos tiempos de muestra. Como puede suponer, esto requiere muchos cálculos. Intentemos procesar "cuidadosamente" los siguientes valores:

importar numpy como np Nx = 300 eso = 500 х = por ejemplo, espacio lineal (0,1, Nx) х = х + por ejemplo, eros ((Na, Nx)) х = np.transponer (х) a = por ejemplo, espacio lineal (1,4, Na) a=a+np.ceros((Nx,Na)) para i en rango (100): x=a*x*(1-x) pt = [[a_,x_] para a_,x_ en zip(a.aplanar(),x.aplanar())] punto (pt, tamaño = 1, figsize = (7,5))

Deberíamos obtener algo similar a la figura (3). ¿Cómo interpretar este dibujo? Por ejemplo, con el valor del parámetro a = 3.3, tenemos 2 puntos fijos estables (el tamaño de la población es el mismo cada dos temporadas). Sin embargo, para el parámetro a = 3.5 tenemos 4 puntos constantes (cada cuarta temporada la población tiene el mismo número), y para el parámetro a = 3.56 tenemos 8 puntos constantes (cada octava temporada la población tiene el mismo número). Pero para el parámetro a≈3.57, tenemos infinitos puntos fijos (el tamaño de la población nunca se repite y cambia de manera impredecible). Sin embargo, con un programa de computadora, podemos cambiar el alcance del parámetro a y explorar la estructura geométrica infinita de este diagrama con nuestras propias manos.

Esto es sólo la punta del iceberg. Se han escrito miles de artículos científicos sobre esta ecuación, pero aún esconde sus secretos. Con la ayuda de la simulación por computadora, puedes, sin siquiera recurrir a las matemáticas superiores, jugar al pionero del mundo de la dinámica no lineal. Lo invitamos a leer la versión en línea que contiene detalles sobre muchas de las propiedades interesantes de la ecuación logística y formas interesantes de visualizarlas.

¹ Una ley determinista es una ley en la que el futuro está determinado únicamente por el estado inicial. El antónimo es la ley probabilística. ² En matemáticas, "discreto" significa obtener valores de un determinado conjunto contable. Lo contrario es "continuo".