Coronavirus y educación matemática: colecciones parcialmente encargadas

El virus que nos ha golpeado está impulsando una rápida reforma educativa. especialmente en los niveles superiores de educación. Sobre este tema, puede escribir un ensayo más largo, seguramente habrá una corriente de tesis doctorales sobre la metodología del aprendizaje a distancia. Desde cierto punto de vista, se trata de una vuelta a las raíces ya los hábitos olvidados del autoestudio. Así fue, por ejemplo, en la escuela secundaria de Kremenets (en Kremenets, ahora en Ucrania, que existió en 1805-31, vegetaba hasta 1914 y vivió su apogeo en 1922-1939). Los estudiantes estudiaban allí solos; solo después de haber aprendido, los maestros llegaban con correcciones, aclaraciones finales, ayuda en lugares difíciles, etc. e) Cuando me convertí en estudiante, también decían que debíamos adquirir conocimientos nosotros mismos, que solo ordenar y enviar clases a la universidad. Pero en ese entonces era solo una teoría...

En la primavera de 2020, no soy el único que descubrió que las lecciones (incluidas conferencias, ejercicios, etc.) se pueden llevar a cabo de manera remota (Google Meet, Microsoft Teams, etc.), a costa de mucho trabajo. por parte del maestro y solo un deseo de "obtener una educación" por otro lado; pero también con cierta comodidad: me siento en casa, en mi sillón, y en las conferencias tradicionales, los estudiantes a menudo también hacían otra cosa. El efecto de tal entrenamiento puede ser incluso mejor que con el tradicional sistema de lecciones de clase que se remonta a la Edad Media. ¿Qué quedará de él cuando el virus se vaya al carajo? Creo... bastante. Pero ya veremos.

Hoy hablaré de conjuntos parcialmente ordenados. Es simple. Dado que una relación binaria en un conjunto no vacío X se denomina relación de orden parcial cuando existe

(Tadeusz Kotarbinski, 1886-1981, filósofo,

Presidente de la Academia de Ciencias de Polonia en 1957–1962).

1. Reflexivo, es decir, para cada ∈ hay ",
2. transeúnte, es decir, si ", y ", entonces",
3. Semi-asimétrico, es decir («∧«)→ es igual a

Una cadena es un conjunto con la siguiente propiedad: para dos elementos cualesquiera, este conjunto es "o y". Anticadena es...

¡Para para! ¿Se puede entender algo de esto? Por supuesto que es. Pero, ¿alguno de los Lectores (sabiendo lo contrario) ya entendió lo que hay aquí?

¡No creo! Y este es el canon de la enseñanza de las matemáticas. También en la escuela. Primero, una definición decente y estricta, y luego, aquellos que no se quedaron dormidos por aburrimiento definitivamente entenderán algo. Este método fue impuesto por los "grandes" profesores de matemáticas. Debe ser cuidadoso y estricto. Es cierto que así es como debería ser al final. Las matemáticas deben ser una ciencia exacta (ver también: ).

Debo confesar que en la universidad donde trabajo después de jubilarme de la Universidad de Varsovia, también enseñé durante tantos años. Sólo en él estaba el notorio balde de agua fría (que así quede: ¡hacía falta un balde!). De repente, la alta abstracción se volvió ligera y placentera. Fije la atención: fácil no significa fácil. El boxeador ligero también tiene dificultades.

Sonrío a mis recuerdos. Las bases de las matemáticas me las enseñó el entonces decano del departamento, un matemático de primera que acababa de llegar de una larga estancia en Estados Unidos, que en ese momento era algo extraordinario en sí mismo. Creo que era un poco esnob cuando se olvidó un poco del polaco. Abusó del viejo polaco "qué", "por lo tanto", "azalea" y acuñó el término: "relación semiasimétrica". Me encanta usarlo, es muy preciso. Me gusta. Pero no exijo esto de los estudiantes. Esto se conoce comúnmente como "baja antisimetría". Diez hermosos.

Hace mucho tiempo, porque en los años setenta (del siglo pasado) hubo una gran y alegre reforma de la enseñanza de las matemáticas. Esto coincidió con el comienzo del breve período del reinado de Eduard Gierek, una cierta apertura de nuestro país al mundo. “A los niños también se les puede enseñar matemáticas superiores”, exclamaron los Grandes Maestros. Se compiló un resumen de la conferencia universitaria "Fundamentos de Matemáticas" para niños. Esta fue una tendencia no solo en Polonia, sino en toda Europa. Resolver la ecuación no era suficiente, había que explicar cada detalle. Para no ser infundado, cada uno de los Lectores puede resolver el sistema de ecuaciones:

pero los estudiantes tenían que justificar cada paso, hacer referencia a declaraciones relevantes, etc. Este fue un exceso clásico de forma sobre contenido. Es fácil para mí criticar ahora. Yo también fui una vez partidario de este enfoque. Es apasionante... para jóvenes apasionados por las matemáticas. Esto, por supuesto, fue (y, en aras de la atención, yo).

Pero basta de divagaciones, pongámonos manos a la obra: una conferencia que "teóricamente" estaba destinada a los estudiantes de segundo año de la Politécnica y hubiera quedado seca como un coco rallado de no ser por ella. estoy exagerando un poco...

Buenos días para tí. El tema de hoy es la limpieza parcial. No, esto no es un indicio de limpieza descuidada. La mejor comparación sería considerar cuál es mejor: sopa de tomate o pastel de crema. La respuesta es clara: dependiendo de qué. De postre - galletas, y de plato nutritivo: sopa.

En matemáticas, tratamos con números. Están ordenados: son mayores y menores, pero de dos números diferentes, uno siempre es menor, lo que significa que el otro es mayor. Están ordenados, como las letras del alfabeto. En el diario de clase, el orden puede ser el siguiente: Adamchik, Baginskaya, Khoinitsky, Derkovsky, Elget, Filipov, Gzhechnik, Kholnitsky (¡son amigos y compañeros de clase de mi clase!). Tampoco tenemos ninguna duda de que Matusyak "Matushelyansky" Matushevsky "Matisyak. El símbolo de "doble desigualdad" tiene el significado de "antes".

En mi club de viajes tratamos de hacer las listas en orden alfabético, pero por nombre, por ejemplo, Alina Wrońska "Warvara Kaczarska", Cesar Bouschitz, etc. En los registros oficiales, el orden sería inverso. Los matemáticos se refieren al orden alfabético como lexicográfico (un léxico es más o menos como un diccionario). Por otro lado, tal orden, en el que en un nombre que consta de dos partes (Michal Shurek, Alina Wronska, Stanislav Smazhinsky) primero miramos la segunda parte, es un orden anti-lexicográfico para los matemáticos. Títulos largos, pero contenido muy simple.

1. Orden lineal: estaciones y paradas del ferrocarril Habovka-Zakopane de Podhale, construido en 1899 (dejo al lector la decodificación de las abreviaturas).

Todas estas órdenes se denominan órdenes de línea. Ordenamos por turnos: primero, segundo, tercero. Todo está en orden, desde el primer punto hasta el último. No siempre tiene sentido. Después de todo, organizamos los libros en la biblioteca no así, sino en secciones. Solo dentro del departamento organizamos linealmente (generalmente en orden alfabético).

2. Orden lineal: al arrancar el motor del automóvil, realizamos acciones en un orden constante.

Con proyectos más grandes, especialmente en trabajo en equipo, ya no tenemos un orden lineal. Miremos a higo. 3. Queremos construir un pequeño hotel. Ya tenemos dinero (celda 0). Redactamos permisos, recolectamos materiales, comenzamos la construcción y, al mismo tiempo, realizamos una campaña publicitaria, buscamos empleados, etc., etc. Cuando lleguemos a "10", los primeros invitados pueden registrarse (un ejemplo de las historias del Sr. Dombrowski y su pequeño hotel en las afueras de Cracovia). Tenemos orden no lineal – algunas cosas pueden suceder en paralelo.

En economía, aprenderás sobre el concepto de la ruta crítica. Este es el conjunto de acciones que deben realizarse secuencialmente (y esto se llama una cadena en matemáticas, más sobre eso en un momento), y que toman la mayor parte del tiempo. Reducir el tiempo de construcción es una reorganización de la ruta crítica. Pero más sobre esto en otras conferencias (les recuerdo que estoy leyendo una "conferencia universitaria"). Nos enfocamos en las matemáticas.

Los diagramas como el de la figura 3 se denominan diagramas de Hasse (Helmut Hasse, matemático alemán, 1898–1979). Cada esfuerzo complejo debe planificarse de esta manera. Vemos secuencias de acciones: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Los matemáticos las llaman cuerdas. Toda la idea consiste en cuatro cadenas. Por el contrario, los grupos de actividad 1-2-3-4, 5-6-7 y 8-9 son anticadenas. Así es como se llaman. El caso es que en un determinado grupo, ninguna de las acciones depende de la anterior.

4. Este también es un diagrama de Hasse.

vamos figura 4. ¿Qué es impresionante? ¡Pero podría ser un mapa del metro en alguna ciudad! Los ferrocarriles subterráneos siempre se agrupan en líneas, no pasan de uno a otro. Las líneas son líneas separadas. En la ciudad de Fig. 4 es horno línea (recuerde que horno está escrito "boldem" - en polaco se llama semi-grueso).

En este diagrama (Fig. 4) hay un ABF amarillo corto, un ACFPS de seis estaciones, un ADGL verde, un DGMRT azul y el rojo más largo. El matemático dirá: este diagrama de Hasse tiene horno cadenas esta en la linea roja siete estación: AEINRUW. ¿Qué hay de las anticadenas? hay ellos siete. El lector ya habrá notado que subrayé dos veces la palabra siete.

anticadena este es un conjunto de estaciones tal que es imposible llegar de una a otra sin una transferencia. Cuando "entendamos" un poco, veremos las siguientes anticadenas: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​SR. Verifique, por ejemplo, que no es posible viajar de ninguna de las estaciones de BCLTV a otra BCTLV sin hacer un cambio, más precisamente: sin tener que regresar a la estación que se muestra a continuación. ¿Cuántas anticadenas hay? Siete. ¿Qué tamaño es el más grande? Hornear (de nuevo en negrita).

Pueden imaginar, estudiantes, que la coincidencia de estos números no es casual. Esta. Esto fue descubierto y probado (es decir, siempre así) en 1950 por Robert Palmer Dilworth (1914-1993, matemático estadounidense). El número de filas necesarias para cubrir todo el conjunto es igual al tamaño de la anticadena más grande y viceversa: el número de anticadenas es igual a la longitud de la anticadena más larga. Este es siempre el caso en un conjunto parcialmente ordenado, es decir uno que se puede visualizar. diagrama de hassego. Esta no es una definición estricta y correcta. Esto es lo que los matemáticos llaman una "definición de trabajo". Esto es algo diferente de la "definición de trabajo". Esta es una pista sobre cómo entender los conjuntos parcialmente ordenados. Esta es una parte importante de cualquier entrenamiento: ver cómo funciona.

La abreviatura en inglés es: esta palabra suena hermosa en los idiomas eslavos, un poco como un cardo. Tenga en cuenta que el cardo también está ramificado.

Muy bonito, pero ¿quién lo necesita? Ustedes, queridos estudiantes, lo necesitan para aprobar el examen, y esta es probablemente una buena razón para estudiarlo. Estoy escuchando, ¿qué preguntas? Estoy escuchando, caballero desde debajo de la ventana. Oh, la pregunta es, ¿será esto alguna vez útil para el Señor en tu vida? Quizás no, pero para alguien más inteligente que tú, seguro… ¿Quizás para el análisis de la ruta crítica en un proyecto económico complejo?

Escribo este texto a mediados de junio, se están celebrando las elecciones del rector en la Universidad de Varsovia. He leído varios comentarios de internautas. Hay una sorprendente cantidad de odio (u “odio”) hacia las “personas educadas”. Alguien escribió sin rodeos que las personas con educación universitaria saben menos que las que tienen educación universitaria. Por supuesto, no entraré en la discusión. Me entristece que esté volviendo la opinión establecida en la República Popular de Polonia de que todo se puede hacer con un martillo y un cincel. Vuelvo a las matemáticas.

teorema de dillworth tiene varios usos interesantes. Uno de ellos es conocido como el teorema del matrimonio.higo. 6). 

Hay un grupo de mujeres (más bien niñas) y un grupo un poco más grande de hombres. Toda chica piensa algo como esto: "Podría casarme con este, por otro, pero nunca en mi vida por un tercero". Y así sucesivamente, cada uno tiene sus propias preferencias. Dibujamos un diagrama, que lleva a cada uno de ellos una flecha del tipo a quien no rechaza como candidato para el altar. P: ¿Se pueden emparejar las parejas para que cada una encuentre un esposo que acepte?

El teorema de Philip Hall, dice que esto se puede hacer, bajo ciertas condiciones, que no discutiré aquí (entonces en la próxima lección, estudiantes, por favor). Tenga en cuenta, sin embargo, que la satisfacción masculina no se menciona aquí en absoluto. Como sabéis, somos las mujeres las que nos eligen, y no al revés, como nos parece (os recuerdo que soy autora, no autora).

Algunas matemáticas serias. ¿Cómo se sigue el teorema de Hall de Dilworth? Es muy sencillo. Miremos de nuevo la figura 6. Las cadenas allí son muy cortas: tienen una longitud de 2 (en la dirección). Un conjunto de hombrecitos es una anticadena (precisamente porque las flechas son sólo hacia). Así, podrás cubrir toda la colección con tantas anticadenas como hombres haya. Entonces cada mujer tendrá una flecha. ¡Y eso significa que puede parecer el chico que acepta!

Espera, alguien pregunta, ¿eso es todo? ¿Es todo aplicación? Las hormonas de alguna manera se llevarán bien y ¿por qué las matemáticas? En primer lugar, esta no es toda la aplicación, sino solo una de una gran serie. Veamos uno de ellos. Que (Fig. 6) no signifique representantes del mejor sexo, sino compradores prosaicos, y estas son marcas, por ejemplo, automóviles, lavadoras, productos para perder peso, ofertas de agencias de viajes, etc. Cada comprador tiene marcas que acepta y rechaza ¿Se puede hacer algo para vender algo a todo el mundo y cómo? Aquí es donde no solo terminan las bromas, sino también el conocimiento del autor del artículo sobre este tema. Todo lo que sé es que el análisis se basa en matemáticas bastante complejas.

Enseñar matemáticas en la escuela es enseñar algoritmos. Esta es una parte importante del aprendizaje. Pero poco a poco nos estamos moviendo hacia el aprendizaje no tanto de las matemáticas como del método matemático. La conferencia de hoy fue precisamente sobre esto: estamos hablando de construcciones mentales abstractas, estamos pensando en la vida cotidiana. Estamos hablando de cadenas y anticadenas en conjuntos con relaciones inversas, transitivas y otras que usamos en los modelos vendedor-comprador. La computadora hará todos los cálculos por nosotros. Todavía no creará modelos matemáticos. Todavía ganamos con nuestro pensamiento. De todos modos, ¡esperemos que el mayor tiempo posible!