¿Cómo engañar, manipular y presentarse en una luz favorable en la grandeza de las matemáticas?

A principios de noviembre de 2020, Mateusz Morawiecki se refirió a matemáticos del Centro de Modelamiento Matemático que demostraron que el Paro de Mujeres provocó un aumento de 5000 contagios. Tengo amigos en este Centro, solo se enteraron de que lo habían predicho por un discurso del Sr. - a Mateusz.

Me gustaría enfatizar que, tal vez contrariamente al título del artículo, no elogiaré ni criticaré al actual primer ministro. pienso que Matemáticas no es su fuerte, pero tal deficiencia intelectual no levantará objeciones de la mayoría de ustedes. Y en general, ¿no estaría un gran matemático en un puesto de responsabilidad, pero no sabio en la vida y la política? También mencionaré que Donald Tusk, en su anterior campaña presidencial, dijo (como en broma): “no puedes escribir exámenes de matemáticas sin descargar”. Ya sabes, la nube matemática es tu hombre, como yo. Julian Tuwim era esnob sobre su ignorancia de las matemáticas. Y me llamaron a la junta. Solo señalaré que tuvimos un estreno en matemáticas en Polonia. Fue (cinco veces) Kazimierz Bartel, 1882-1941, rector del Politécnico de Lviv, un excelente geómetra. No puedo y no intento juzgar su reinado.

Limpiarse la boca es versátil y antiguo. Libros, delgados y gruesos, se han escrito al respecto. Hay muchas formas, hablaré de algunas, comenzaré con las que se cosen con hilos gruesos. Quizás en el pasado hubo aún más métodos de este tipo, porque en el monumental y primero de su tipo Diccionario de la lengua polaca Samuel Bogumil Linde (publicado en 1807-1814) leemos:

Matemático, matemático matemático, malabarista matemático.

No conocemos las acciones más simples, y realmente queremos probarnos a nosotros mismos. Hace unos años, un periodista de Olsztyn escribió una larga exposición sobre cómo nos engañan los fabricantes. Por ejemplo: en un paquete de mantequilla dice "contenido de grasa 85 por ciento" - ¿es 85 por ciento en un cubo o en un kilogramo? Toda Polonia chirrió. Pero solo los profesores de matemáticas inteligentes (es decir, ¡todos los profesores de matemáticas!) notaron un error en el razonamiento de uno de nuestros ex primeros ministros, Kazimir Martsinkevich, hace muchos años. Voy a cambiar los números un poco para que sea más fácil de ver. Dijo algo así: gastamos 150 millones de zlotys en la construcción de carreteras y recibimos 50 millones de Bruselas, así que gastaremos solo 100. Ahorramos el 50 por ciento. Bueno, 50/100 es 50 por ciento. ¿Dónde está el error? Y si tuviéramos 100 millones, ¿cuánto ahorraríamos? El error es sutil. Hablando de porcentajes, es importante aclarar de dónde los sacamos. Este es un error muy común que cometen los profesores. Dicen que un porcentaje es una centésima. ¡Esto no esta permitido! Cien por cien, pero siempre es algo. Si gastamos 150 y gastamos 100, ahorramos 50 de 150, que es el 33%. El primer ministro Martsinkevich era profesor de física. O era tan mal profesor que no entendía los porcentajes, o los manipulaba deliberadamente para obtener el mejor efecto político. De hecho, preferiría lo último. Déjame recordarte una anécdota muy antigua de antes de la guerra. “¡Papá, ahorré 20 centavos hoy!” "¡Es muy bueno, hijo! ¿Cómo? “¡No tomé el tranvía para ir a la escuela, corrí detrás de él!” "Ah, hijo, corre por segunda vez para tomar un taxi, ¡ahorrarás 5 zlotys!"

¡Ideas, ideas! La mayoría de las ideas de la llamada contabilidad creativa se basan en lagunas legales (ley escrita en la rodilla = mierda) y se desvían de la noción de promedio. Aquí hay un ejemplo: ¿cómo se pueden aumentar los salarios de todos mientras se reduce el salario promedio? Simple: dar un pequeño aumento a los que ya están trabajando y, al hacerlo, contratar a mucha gente mal pagada. El promedio caerá… y bajo los términos de la masa salarial global, estaba fuera de discusión. Supuestamente, hasta 1989, cierto director de una empresa estatal se comportó de esta manera.

Se puede luchar directamente, utilizando el analfabetismo matemático de muchos círculos de la sociedad y combinando las matemáticas (??) con la literatura (??). Aquí hay un texto demagógico pero ficticio (aunque basado en una publicación real, anterior a 2010 para llamar la atención).

Las enfermeras estarán mejor. Hace dos años, el salario neto medio de una enfermera en el condado de Sochaczew era de 1500 PLN. El año pasado, el gobierno aumentó el gasto en atención médica en medio billón de zlotys. Esto será el doble que en años anteriores. Hermenegilda Kotsyubinskaya, enfermera del Hospital Clínico Central, dice: el mes pasado mi salario era de 4500 PLN. Esto significa un aumento enorme, triplicado en los ingresos del cuidado de la salud.

¿Hay alguien a quien engañar? Incluso si los números son los mismos, puedes ver lo que estamos comparando aquí. salario promedio en el hospital provincial con el salario de una persona en un mes dado. ¿Tal vez Hermenegilda es la jefa de enfermeras, tal vez tuvo muchos turnos extra este mes, y además, el CRH tiene una escala salarial especial? Además, los 1500 PLN mencionados son salarios netos y no se especifica si el salario de la Sra. Kociubinska es neto o bruto. Quinientos millones es una cantidad enorme para un individuo, pero ¿qué significa a nivel nacional? Notamos de inmediato que "medio billón" suena mejor como propaganda que "500 millones". No se informa a qué se destinaron 500 millones de zlotys. No se sabe por qué 500 millones PLN el doble.

¿Cómo puedo mejorar mis resultados de aprendizaje? La escuela X es criticada por las autoridades educativas por los malos resultados educativos (es decir, un GPA bajo, ¡aunque estas son cosas diferentes!). El director encuentra una manera de hacer las cosas un poco mejor. Transfiere a varios alumnos de la clase A a la clase B y logra su objetivo: el puntaje promedio en ambas clases ha aumentado.

¿Cómo es esto posible? Si hay un estudiante en la clase A cuyo GPA es más bajo que el promedio de la clase A, pero más alto que el promedio de la clase C, moverlo a la clase B tendrá el mismo efecto. La fe se basa en este efecto. Mechislav Chuma i Leshek Mazán, autores de la "Enciclopedia Gallega" (editorial "Anabasis", Cracovia), que el día en que Segismundo III Vasa y su corte se trasladaron a Varsovia, el nivel medio de inteligencia aumentó en ambas ciudades.

Tendemos a interpretar los datos. Este es el estiramiento no elemental más común. Comenzaré con el ejemplo más estúpido, pero confiable. Hace muchos, muchos años, el ya desaparecido Express Wieczorny informó que el salario promedio en la Universidad de Varsovia sería de 15000 24 złoty (entonces złoty). Se suponía que el rector recibiría el salario más alto, 6, el asistente de novatos más bajo, 15. ¡Promedio de XNUMX! La manipulación el concepto de promedio es un tema de habilitación.

Aquí hay dos ejemplos más. ¿Sabes que la persona promedio en Polonia tiene menos de dos piernas? Pues sí: hay quien tiene uno, ¡pero nadie tiene tres! El segundo ejemplo es más sutil. Bueno, mi esposa y yo tenemos nuestros propios autos. Mi monovolumen consume mucho combustible, 12,5 litros a los 100 km. Esto significa que para 100 km necesito 8 litros. Mi esposa tiene un pequeño Mitsubishi: consume 8 litros cada 100 km. Esto también es mucho, pero para que los cálculos sean simples, los datos deben procesarse un poco. A menudo montamos el mismo. Por lo tanto, el consumo medio de combustible de nuestros dos coches es la media aritmética de 8 y 12,5. Suma, divide por 2. Resulta 10,25 litros. Por supuesto, es importante que a menudo conduzcamos de la misma manera. Entonces, ¿dónde está el margen para la manipulación?

Ah, aquí. ¿Sabía que el consumo de combustible en EE. UU. se calcula de manera diferente? Responderán: "Conduzco tantas millas con un galón". Dejemos la conversión de galones a litros y de millas a kilómetros, pero aplíquela a los autos antes mencionados: el mío y la Junta Única de Revisión de Nuestro Matrimonio. Yo solo conduciré 8 km por litro (100 dividido por 12,5), mi esposa 12,5 km (100 dividido por 8). De media, un litro nos llevará… la media aritmética de estas cifras. Ya hemos calculado esto una vez. Resulta 10 y cuarto, esta vez 10,25 kilómetros.

Volvamos a los estándares europeos. Si conduzco 10,25 km con un litro, ¿cuántos litros necesitas para 100? Tomemos una calculadora: 100 dividido por 10,25 es... 9,76. El consumo medio de nuestros coches es de 9,76... y antes era de 10,25. ¿Dónde está el error? ¡No! En realidad, no en matemáticas, sino en la interpretación de las palabras “viajamos con la misma frecuencia”. Un análisis cuidadoso mostrará que en la primera interpretación esto significa "conducimos la misma cantidad de kilómetros por mes", y en la segunda "usamos la misma cantidad de gasolina". Se podría añadir una tercera variable: pasamos el mismo tiempo conduciendo (la mujer conduce mucho más rápido)… y sería diferente. Si estamos midiendo algo, debemos tener una cinta métrica.

situaciones más sutiles. La paradoja de Simpson. Exploramos qué es mejor para eliminar la caspa: Coca-Cola o Pepsi-Cola. Probamos en mujeres y hombres. Aquí están los datos. Casi todos los cálculos se pueden hacer en la memoria.

Por favor, lector, siéntese. Sólo para no caer fuera de la sensación. ¿Cuál es la mejor bebida para eliminar la caspa en los hombres? He marcado los números más grandes en rojo y los más pequeños en azul. 25 es más que 20, ¿verdad? Señores: ¡compren Coca-Cola para la caspa! ¿Qué pasa con las mujeres? ¿Probablemente al revés? No, 60> 53. Señoras, tomen una Coca-Cola.

La empresa compra anuncios en televisión, donde una feliz pareja (a la antigua: un hombre y una mujer) se deshace de esta leve dolencia con la ayuda de Coca-Cola. Pero hay un anuncio de Pepsi. Bueno, porque había 250 personas en la prueba aquí y aquí, lo que significa que estaban divididas en partes iguales. Coca-Cola ayudó a 80 personas (32%), Pepsi ayudó a 100 personas, 40%. En la pantalla, la multitud se está quitando la caspa mientras una lata de Pepsi rueda frente a la cámara. “¡Nuestra generación ya ha elegido!”

¿Dónde está el error? No. Quiero decir, las matemáticas están bien. O más bien simplemente aritmética. Para que sea matemáticamente correcto, debemos tomar muestras comparables con la misma proporción de M que K. De lo contrario, los cálculos no tienen sentido, como si estuviéramos calculando el peso promedio de un mosquito y un elefante. Podemos sumar y dividir por dos. ¿Qué hemos calculado? Bueno, el peso promedio de un mosquito y un elefante. ¿Qué nos dará? Un hilo.

Pero llevémoslo a la política, a Estados Unidos, por supuesto. Los partidarios de uno de los candidatos, dicen Bump, llorarían: somos mejores tanto para damas como para caballeros. ¡Vota por Jozef Podskok! Los partidarios de Triden escribirían en pancartas: Somos los mejores del mundo. Votar pato con 3 guaridas (Donald).

Bien, ¿cómo es realmente? Esta es la parte más difícil. ¿Qué significa "realmente"? Podemos decir: "Verdadero es lo que concuerda con la realidad". Sin embargo, surge otra pregunta: ¿cómo medir la "correspondencia con la realidad"? Pero esto ya no es matemática, y me gustaría ceñirme a ella, porque solo aquí me siento seguro.

Acerca de esta paradoja (llamada la paradoja de simpson) se basa en muchos, muchos otros. Se conoce en matemáticas desde hace cien años, pero (relativamente) recientemente las ciencias sociales se han interesado por él. Todo comenzó con el hecho de que en una de las universidades estadounidenses, el rector notó que las niñas eran mucho menos aceptadas que los niños. Pidió informes a los decanos... y resultó que en todas las facultades la proporción de aceptados a candidatos era más alta para las niñas que para los niños, y todo lo contrario. Recomiendo al lector reformular el ejemplo de Pepsi y Coca-Cola a la situación de los departamentos universitarios.

Una situación aún más sutil. Todos en el mundo matemático conocen el "ejemplo de Nebraska". En algún lugar de Nebraska, saquearon una tienda y robaron una caja registradora. Los testigos solo recordaron que esto lo hizo una extraña pareja: un hombre moreno con barba y una mujer de rasgos orientales. Se fueron (chirriando las llantas como en la película) en un Toyota amarillo. A las pocas horas, la policía detuvo... un Toyota amarillo, en el que iba un afroamericano con barba, acompañado de una mujer asiática. "¡Eres tu!". Esposas, corte. Un matemático experimentado calculó que tal conjunto (negro + asiático + Toyota amarillo) es tan único que el 99,999% de los ladrones son buscados. Arrojó términos memorizados en el pasillo: eventos elementales, diagrama de Bernoulli, conjunción. La pareja fue a sentarse. Sin embargo, contrataron al mejor matemático, quien dijo en un llamamiento: “Bien. Juzgue usted mismo, mi predecesor calculó que la probabilidad de que un automóvil encontrado al azar con dos pasajeros sea un Toyota amarillo con uno negro y una mujer japonesa es tal y tal. Pero aquí necesitamos resolver otro problema, la probabilidad condicional. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar otro par (o tres, si enciende la máquina), si sabemos que tal uno ya existe? »

No sabemos si el juez entendió alguno de los argumentos. Quizás solo que la respuesta depende de la elección de la situación. Eso fue suficiente. Anuló la sentencia.

Un golpe en la cabeza con un palo. Siempre hemos tratado esa demagogia (1).

Los bares son terribles: los precios del carbón se han duplicado. Mirar los números es tranquilizador: de hecho, han aumentado de 161 PLN por tonelada a 169 PLN (ejercicio: ¿en qué porcentaje?). Pero como la mayoría de las personas aprenden visualmente, recordarán el gráfico, no los números. Sin entrar en discusiones políticas, debo decir que un método similar fue utilizado por el gobierno (el del verano de 2020), imaginando un aumento del gasto en cáncer. Esto no es una crítica a este gobierno. El próximo también utilizará este método. Es seguro y da un efecto inmediato ("visto").

Usemos máscaras. Las leyes de la propagación de epidemias son simples y "en sí mismas" inexorables. El número de personas infectadas está creciendo más rápido, cuantos más ya hay. Así va la avalancha. Eso es lo que dicen las matemáticas. Sin embargo, hay un gran "pero", tal vez más de uno. En primer lugar, es así, mientras "no pasa nada". Cuando la avalancha en el bosque se detenga, cuando la epidemia sea frenada por el sabio comportamiento de todos nosotros, entonces no tanto "agradeceremos" a las matemáticas como crearemos un modelo diferente. Sí, un modelo matemático diferente (como en el ejemplo del robo a una tienda en Nebraska). Las matemáticas, una ciencia hermosa, solo ayudan a comprender el mundo. Tantos, pero solo tantos. A ver: saltamos casi seis metros con una pértiga, sin ella no podemos saltar ni 2,50. Luego toma la pértiga en tu mano y salta. Es una gran molestia, ¿no?

utilizar matemáticas en ciencias sociales es difícil, peligroso y, peor aún, tentador. Los conocedores de los Tatras lo asocian con el barranco Drege: un suave descenso herboso desde Garnets hasta Chyorny Stav... Así se ve desde arriba. Pronto el barranco se convierte en una trampa de la que solo TOPR, el Servicio de Rescate Voluntario de Tatra, puede salvarnos.

Los matemáticos llaman a este aumento de avalanchas y epidemias crecimiento exponencial. Como ya escribí, este crecimiento se puede suprimir, pero no de nuevo. Sin embargo, veamos dos gráficos de la misma curva (solo que en una escala diferente). Quien entenderá, doy la fórmula de esta función: y = 2^xdos al poder. Por favor, mire los gráficos. ¿A partir de qué punto se produce la rápida aceleración del crecimiento? Todos indicarán: está más o menos cerca del punto marcado con un punto grande. Pero en el primer gráfico este valor está cerca de 1,5, en el segundo es más de 3 y en el tercero es 4,5. Si habrá algún tipo de manifestaciones callejeras entonces, entonces podemos decir: por favor, desde el momento de la manifestación, la curva subió, subió bruscamente. ¡En la gloria de las matemáticas! Y esto es solo una propiedad de la curva exponencial. La escala correspondiente y el punto a partir del cual comienza la aceleración rápida se pueden elegir libremente (2).

Elecciones presidenciales... en EE.UU., por supuesto. Todavía recordamos la farsa de noviembre de 2020. El país, que sigue siendo la potencia número 1, no ha hecho frente al recuento de páginas. Al final resultó que Joe Biden no solo ganó más votos electorales, sino que habría ganado si la decisión se hubiera tomado por mayoría simple. En la situación que describiré, no hay manipulación matemática, solo un ejemplo de cómo el resultado de las elecciones puede depender de la resolución adoptada. Si lo sabes, es difícil protestar. Un defensor en el fútbol puede considerar que la prohibición de la mano es incorrecta, pero si la ignora, se sancionará con un penalti.

Imagine que los siguientes se postulan para la presidencia de Grecia: Apolonio, Euclides, Garza, Pitágoras i Tal. Quienquiera que elijan los votantes se convertirá en presidente. Son 100. Eran elegidos por voto popular, y luego los partidos representados en el Parlamento, es decir, el Circo Máximo, establecían el orden de sus preferencias. Algo anda mal porque Circus Maximus es un nombre latino, no griego. Pero no discutamos con las fuentes.

¿Quién se convertirá en presidente? Veamos cómo depende de la ordenación. Las preferencias del partido deben entenderse de tal forma que sus electores voten por la primera persona de la lista que quede en las elecciones después de la siguiente vuelta.

Si el fallo estipula que gana el candidato que pone más votos en primer lugar, ganará Pitágoras, porque será elegido por 25 + 9 = 34 votantes. Esto es lo que sucede en la escuela cuando elegimos, por ejemplo, al mejor alumno. En nuestro lugar: ¡Pitágoras es elegido por el pueblo!
En las elecciones presidenciales modernas, el sistema de segunda vuelta se usa con mayor frecuencia. Votamos por un candidato, pero si ninguno supera el 50 por ciento, se hace una segunda vuelta. El ganador es el que obtiene la mayoría absoluta de votos, es decir, simplemente más votos que su oponente. En este escenario, Pitágoras (34 votos) y Tales (20) pasarán a la segunda vuelta. En la segunda vuelta, los electores distribuyen sus votos según sus preferencias. Todos menos los pitagóricos prefieren Tales a Pitágoras. Esta es una situación común en la que un partido tiene un electorado duro y está rodeado de renuencia general. Así que en la prórroga, Pitágoras no recibirá ni un solo voto. Resultado 66:34 a favor de Tales y victoria decisiva. Una situación similar ocurrió en 2001 en Eslovaquia, donde un candidato que claramente ganó la primera vuelta perdió en la segunda. Fue similar en las elecciones presidenciales de Polonia en 2005: el líder fue derrotado en la segunda vuelta después de la primera. ¡Viva los cuentos presidenciales!
En ciclismo se utiliza el llamado sistema australiano. Después de cada vuelta a la pista, el último es eliminado. Esta versión de la ley electoral se denomina "elección de directores". Bajo este sistema, fue elegido el primer presidente de la Polonia independiente, Gabriel Narutowicz. ¿Cómo se vería en nuestra Grecia?

El asunto es más complicado. Por favor, haz un seguimiento. En la primera ronda, Euclides recibió la menor cantidad de votos y se retiró (¡qué pena, qué buen matemático!). Luego, el partido vota en la segunda vuelta por el segundo en su lista: Tsaplya. En la segunda vuelta Garza tiene 19 + 10 = 29 votos. Apolonio es eliminado (17 votos). Partido, y luego votar por Garza. En la tercera vuelta Pitágoras (electorado fijo) tiene 34 votos, Tales 20 y Garza 29 + 17 = 46 votos. Las historias están fuera. A los falesianos (Partido B) tampoco les gustan los pitagóricos, prefieren los heraldos. Otros también, a excepción de los grupos estables A y E. En el turno final, Garza derrota fácilmente a Pitágoras 66:34. Vivat Presidente Garza!

4. En el Festival de la Canción de Eurovisión, se otorgaron 12 puntos al primer lugar de la lista, 10 al segundo lugar, 9 al tercero, y así sucesivamente. Supongamos aproximadamente la misma puntuación 6-4-3-2-1. Entonces se otorgaron puntos en tres partidos de atletismo (tres equipos, dos jugadores en cada competencia, ¡en 1958 Polonia ganó contra los EE. UU. y Gran Bretaña!). Nuestros resultados serán los siguientes:

Euklides: 4+2+3+4+6+4=23.

Apoloniusz: 2+3+4+5+3+3=20.

Цапля: 1+4+6+3+4+1=19.

Сказки: 3+6+2+2+2+2=17.

Pitagoras: 6+1+1+1+1+6=16.

¡Griegos, aquí está vuestro presidente Euclides!

5. Los lectores adivinan que solo necesitamos contar los votos para que resulte que Apolonio es el mejor. De hecho, Apolonio es el mejor, porque es el mejor. ¡Todos pierden ante Apolonio! ¿Por qué?

¿Por cuántos electores colocaron a Apolonio por encima de Garza? Calculemos: 25+17+9=51 significa mayoría. No mucho, pero aún así.

¿A qué distancia está Apolonio de Euclides? 20 + 19 + 17 = 56, la mayoría de ellos.

Cuántos prefieren Apolonio a Tales: 19+17+10+9=55>50.

Finalmente, Apolonio de Pitágoras prefiere 20 + 19 + 17 + 10 = 66 electores de 100.

Desde entonces - el pueblo griego, capaz de pensar lógicamente - desde entonces, sobre todo, Apolonio prefiere a cualquier otro candidato; después de todo, ¡es él quien debe gobernarnos para el próximo período! ¡Acércate, Apolonio, nuestro presidente electo! Serás nuestro 44.