Caminos geométricos y matorrales.

Mientras escribía este artículo, recordé una canción muy antigua de Jan Pietrzak, que cantaba antes de su actividad satírica en el cabaret Pod Egidą, reconocido en la República Popular de Polonia como una válvula de seguridad; uno podría reírse honestamente de las paradojas del sistema. En esta canción, el autor recomendaba la participación política socialista, ridiculizando a los que quieren ser apolíticos y apagando la radio en el periódico. “Es mejor volver a la escuela leyendo”, cantaba con ironía el entonces Petshak de XNUMX años.

Voy a volver a la lectura de la escuela. Estoy releyendo (no por primera vez) el libro de Shchepan Yelensky (1881-1949) “Lylavati”. Para pocos lectores, la palabra misma dice algo. Este es el nombre de la hija del famoso matemático hindú conocido como Bhaskara (1114-1185), llamado Akaria, o el sabio que tituló su libro de álgebra con ese nombre. Lilavati más tarde se convirtió en una renombrada matemática y filósofa. Según otras fuentes, fue ella quien escribió el libro ella misma.

Szczepan Yelensky dio el mismo título a su libro sobre matemáticas (primera edición, 1926). Incluso puede ser difícil llamar a este libro un trabajo matemático: era más un conjunto de acertijos y en gran parte reescrito de fuentes francesas (los derechos de autor en el sentido moderno no existían). En cualquier caso, durante muchos años fue el único libro polaco popular sobre matemáticas; más tarde se le agregó el segundo libro de Jelensky, Pythagorean Sweets. Así que los jóvenes interesados ​​en las matemáticas (que es exactamente lo que yo era antes) no tenían donde elegir...

en cambio, "Lilavati" había que saberlo casi de memoria... Ah, había veces... Su mayor ventaja era que yo era... una adolescente entonces. Hoy, desde el punto de vista de un matemático bien educado, miro a Lilavati de una manera completamente diferente, tal vez como un escalador en las curvas del camino a Shpiglasova Pshelench. Ni lo uno ni lo otro pierde su encanto... En su estilo característico, Shchepan Yelensky, que profesa las llamadas ideas nacionales en su vida personal, escribe en el prefacio:

Sin entrar en la descripción de las características nacionales, diré que incluso después de noventa años, las palabras de Yelensky sobre las matemáticas no han perdido su relevancia. Las matemáticas te enseñan a pensar. Es un hecho. ¿Podemos enseñarte a pensar de manera diferente, más simple y más hermosa? Quizás. Es sólo que... aún no podemos. A mis alumnos que no quieren hacer matemáticas les explico que esto también es una prueba de su inteligencia. Si no puedes aprender teoría matemática realmente simple, entonces... ¿quizás tus habilidades mentales son peores de lo que a ambos nos gustaría...?

Señales en la arena

Y aquí está la primera historia de "Lylavati", una historia descrita por el filósofo francés Joseph de Maistre (1753-1821).

Un marinero de un barco naufragado fue arrojado por las olas a una playa vacía, que consideró deshabitada. De repente, en la arena costera, vio el trazo de una figura geométrica dibujada frente a alguien. ¡Fue entonces cuando se dio cuenta de que la isla no está desierta!

Citando a Mestri, Yelensky escribe: figura geométricaHabría sido una expresión muda para el desafortunado, náufrago, coincidencia, pero le mostró de un vistazo proporción y número, y esto presagiaba a un hombre ilustrado. Tanto para la historia.

Tenga en cuenta que un marinero provocará la misma reacción, por ejemplo, al dibujar la letra K, ... y cualquier otro rastro de la presencia de una persona. Aquí se idealiza la geometría.

Sin embargo, el astrónomo Camille Flammarion (1847-1925) propuso que las civilizaciones se saludaran a distancia utilizando la geometría. Vio en esto el único intento correcto y posible de comunicación. Enseñémosles a esos marcianos los triángulos de Pitágoras... nos responderán con Tales, les responderemos con patrones de Vieta, su círculo encajará en un triángulo, así comenzó una amistad...

Escritores como Julio Verne y Stanislav Lem volvieron a esta idea. Y en 1972, se colocaron mosaicos con patrones geométricos (y no solo) a bordo de la sonda Pioneer, que aún cruza las extensiones del espacio, ahora a casi 140 unidades astronómicas de nosotros (1 I es la distancia promedio de la Tierra a la Tierra) . Sol, es decir, unos 149 millones de km). El mosaico fue diseñado, en parte, por el astrónomo Frank Drake, creador de la controvertida regla sobre el número de civilizaciones extraterrestres.

La geometría es increíble. Todos conocemos el punto de vista general sobre el origen de esta ciencia. Nosotros (nosotros los humanos) acabamos de comenzar a medir la tierra (y luego la tierra) para los propósitos más utilitarios. Determinar distancias, dibujar líneas rectas, marcar ángulos rectos y calcular volúmenes se convirtió gradualmente en una necesidad. De ahí todo el asunto geometría ("Medida de la tierra"), por lo tanto, todas las matemáticas ...

Sin embargo, durante algún tiempo esta clara imagen de la historia de la ciencia nos nubló. Porque si las matemáticas fueran necesarias únicamente con fines operativos, no estaríamos ocupados en probar teoremas simples. “Ves que esto debería ser cierto en todo”, diría uno después de comprobar que en varios triángulos rectángulos la suma de los cuadrados de las hipotenusas es igual al cuadrado de las hipotenusas. ¿Por qué tal formalismo?

El pastel de ciruelas tiene que ser delicioso, el programa de computadora tiene que funcionar, la máquina tiene que funcionar. Si conté la capacidad del barril treinta veces y todo está en orden, ¿por qué más?

Mientras tanto, a los antiguos griegos se les ocurrió que era necesario encontrar alguna evidencia formal.

Entonces, las matemáticas comienzan con Tales (625-547 a. C.). Se supone que fue Mileto quien comenzó a preguntarse por qué. No es suficiente para las personas inteligentes que hayan visto algo, que estén convencidas de algo. Vieron la necesidad de una prueba, una secuencia lógica de argumentos desde la suposición hasta la tesis.

Ellos también querían más. Probablemente fue Tales quien primero trató de explicar los fenómenos físicos de forma naturalista, sin la intervención divina. La filosofía europea comenzó con la filosofía de la naturaleza, con lo que ya está detrás de la física (de ahí el nombre: metafísica). Pero los cimientos de la ontología europea y la filosofía natural fueron puestos por los pitagóricos (Pitágoras, c. 580-c. 500 a. C.).

Fundó su propia escuela en Crotone, en el sur de la península de los Apeninos; hoy la llamaríamos una secta. La ciencia (en el sentido actual de la palabra), el misticismo, la religión y la fantasía están estrechamente entrelazados. Thomas Mann presentó muy bellamente las lecciones de matemáticas en un gimnasio alemán en la novela Doctor Faustus. Traducido por Maria Kuretskaya y Witold Virpsha, este fragmento dice:

En el interesante libro de Charles van Doren, The History of Knowledge from the Dawn of History to the Present Day, encontré un punto de vista muy interesante. En uno de los capítulos, el autor describe el significado de la escuela pitagórica. El mismo título del capítulo me llamó la atención. Dice: "La invención de las matemáticas: los pitagóricos".

A menudo discutimos si las teorías matemáticas se están descubriendo (p. ej., tierras desconocidas) o se están inventando (p. ej., máquinas que no existían antes). Algunos matemáticos creativos se ven a sí mismos como investigadores, otros como inventores o diseñadores, con menos frecuencia contadores.

Pero el autor de este libro escribe sobre la invención de las matemáticas en general.

De la exageración al engaño

Después de esta larga parte introductoria, pasaré al principio. geometríapara describir cómo una confianza excesiva en la geometría puede inducir a error a un científico. Johannes Kepler es conocido en física y astronomía como el descubridor de las tres leyes del movimiento de los cuerpos celestes. Primero, cada planeta del sistema solar se mueve alrededor del sol en una órbita elíptica, en uno de cuyos focos está el sol. En segundo lugar, a intervalos regulares, el rayo principal del planeta, extraído del Sol, atrae campos iguales. En tercer lugar, la relación entre el cuadrado del período de revolución de un planeta alrededor del Sol y el cubo del semieje mayor de su órbita (es decir, la distancia media al Sol) es constante para todos los planetas del sistema solar.

Quizás esta fue la tercera ley: se requirió una gran cantidad de datos y cálculos para establecerla, lo que llevó a Kepler a continuar buscando patrones en el movimiento y la posición de los planetas. La historia de su nuevo "descubrimiento" es muy instructiva. Desde la antigüedad, hemos admirado no solo los poliedros regulares, sino también los argumentos que muestran que solo hay cinco de ellos en el espacio. Un poliedro tridimensional se llama regular si sus caras son polígonos regulares idénticos y cada vértice tiene el mismo número de aristas. De manera ilustrativa, cada esquina de un poliedro regular debería "tener el mismo aspecto". El poliedro más famoso es el cubo. Todo el mundo ha visto un tobillo ordinario.

El tetraedro regular es menos conocido, y en la escuela se le llama pirámide triangular regular. Parece una pirámide. Los tres poliedros regulares restantes son menos conocidos. Un octaedro se forma cuando conectamos los centros de las aristas de un cubo. El dodecaedro y el icosaedro ya parecen bolas. Hechos de cuero suave, serían cómodos para excavar. El razonamiento de que no hay poliedros regulares distintos de los cinco sólidos platónicos es muy bueno. Primero, nos damos cuenta de que si el cuerpo es regular, entonces el mismo número (sea q) de polígonos regulares idénticos debe converger en cada vértice, sean estos ángulos p. Ahora necesitamos recordar cuál es el ángulo en un polígono regular. Si alguien no recuerda de la escuela, le recordamos cómo encontrar el patrón correcto. Hicimos un viaje a la vuelta de la esquina. En cada vértice giramos el mismo ángulo a. Cuando damos la vuelta al polígono y volvemos al punto de partida, hemos dado p tales vueltas, y en total hemos girado 360 grados.

Pero α es el complemento de 180 grados del ángulo que queremos calcular, y por lo tanto es

Hemos encontrado la fórmula del ángulo (un matemático diría: las medidas de un ángulo) de un polígono regular. Comprobemos: en el triángulo p = 3, no hay a

Me gusta esto. Cuando p = 4 (cuadrado), entonces

grados también está bien.

¿Qué obtenemos por un pentágono? Entonces, ¿qué sucede cuando hay q polígonos, cada uno de los cuales tiene los mismos ángulos?

 grados descendentes en un vértice? Si estuviera en un plano, entonces se formaría un ángulo.

grados y no puede tener más de 360 ​​grados, porque entonces los polígonos se superponen.

Sin embargo, dado que estos polígonos se encuentran en el espacio, el ángulo debe ser menor que el ángulo completo.

Y aquí está la desigualdad de la que todo se sigue:

Divídalo por 180, multiplique ambas partes por p, ordene (p-2) (q-2) < 4. ¿Qué sigue? Seamos conscientes de que p y q deben ser números naturales y que p > 2 (¿por qué? ¿Y qué es p?) y también q > 2. No hay muchas formas de hacer que el producto de dos números naturales sea menor que 4. Los enumeraré a todos en la tabla 1.

No publico dibujos, todos pueden ver estas figuras en Internet... En Internet... No rechazaré una digresión lírica, tal vez sea interesante para los lectores jóvenes. En 1970 hablé en un seminario. El tema era difícil. Tuve poco tiempo para prepararme, me sentaba por las tardes. El artículo principal era de solo lectura en su lugar. El lugar era acogedor, con ambiente de trabajo, bueno, cerraba a las siete. Luego, la novia (ahora mi esposa) se ofreció a reescribir todo el artículo para mí: alrededor de una docena de páginas impresas. Lo copié (no, no con pluma, hasta teníamos bolígrafos), la conferencia fue un éxito. Hoy traté de encontrar esta publicación, que ya es antigua. Solo recuerdo el nombre del autor... Las búsquedas en Internet duraron mucho tiempo... quince minutos completos. Pienso en ello con una sonrisa y un poco de arrepentimiento injustificado.

Volvemos a Kepler y la geometría. Aparentemente, Platón predijo la existencia de la quinta forma regular porque le faltaba algo unificador, que cubriera todo el mundo. Quizás por eso le ordenó a un estudiante (Theajtet) que la buscara. Tal como fue, así fue, sobre la base de la cual se descubrió el dodecaedro. Llamamos a esta actitud de Platón panteísmo. Todos los científicos, hasta Newton, sucumbieron a ella en mayor o menor medida. Desde el altamente racional siglo XVIII, su influencia ha disminuido drásticamente, aunque no debemos avergonzarnos de que todos sucumbamos a ella de una forma u otra.

En el concepto de construcción del sistema solar de Kepler, todo era correcto, los datos experimentales coincidían con la teoría, la teoría era lógicamente coherente, muy hermosa... pero completamente falsa. En su época sólo se conocían seis planetas: Mercurio, Venus, la Tierra, Marte, Júpiter y Saturno. ¿Por qué hay sólo seis planetas? preguntó Kepler. ¿Y qué regularidad determina su distancia al Sol? Supuso que todo estaba conectado, que geometría y cosmogonía están estrechamente relacionados entre sí. Por los escritos de los antiguos griegos, sabía que solo había cinco poliedros regulares. Vio que había cinco vacíos entre las seis órbitas. Entonces, ¿quizás cada uno de estos espacios libres corresponde a algún poliedro regular?

Después de varios años de observación y trabajo teórico, creó la siguiente teoría, con la ayuda de la cual calculó con bastante precisión las dimensiones de las órbitas, que presentó en el libro "Mysterium Cosmographicum", publicado en 1596: Imagina una esfera gigante, cuyo diámetro es el diámetro de la órbita de Mercurio en su movimiento anual alrededor del sol. Luego imagina que sobre esta esfera hay un octaedro regular, sobre ella una esfera, sobre ella un icosaedro, sobre ella otra vez una esfera, sobre ella un dodecaedro, sobre ella otra esfera, sobre ella un tetraedro, luego otra vez una esfera, un cubo y, finalmente, en este cubo se describe la pelota.

Kepler concluyó que los diámetros de estas esferas sucesivas eran los diámetros de las órbitas de otros planetas: Mercurio, Venus, la Tierra, Marte, Júpiter y Saturno. La teoría parecía ser muy precisa. Desafortunadamente, esto coincidió con los datos experimentales. ¿Y qué mejor evidencia de la corrección de una teoría matemática que su correspondencia con datos experimentales o datos de observación, especialmente "tomados del cielo"? Resumo estos cálculos en la Tabla 2. Entonces, ¿qué hizo Kepler? Probé y probé hasta que funcionó, es decir, cuando la configuración (orden de las esferas) y los cálculos obtenidos coincidieron con los datos observacionales. Aquí están las cifras y cálculos modernos de Kepler:

Uno puede sucumbir a la fascinación de la teoría y creer que las medidas en el cielo son inexactas, y no los cálculos hechos en el silencio del taller. Desafortunadamente, hoy sabemos que hay al menos nueve planetas y que todas las coincidencias de resultados son solo una coincidencia. Una pena. fue tan hermoso...